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Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 1b

Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos:

b) que passa por A = 1,0 , 1 ,   B = 2,1 , - 1   e   C = 1 , - 1,0

Passo 1

Oi amigo, Yuri aqui e agora é hora de resolvermos mais uma atividade.

Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos dados A, B e C, você pode usar a fórmula geral de um plano:

a x   +   b y   +   c z   =   D

onde N=(a, b, c) é um vetor normal ao plano e (x, y, z) são as coordenadas de um ponto genérico no plano. Para encontrar os coeficientes A, B, C e D, você pode usar os vetores diretores do plano formados pelos vetores AB e AC.

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores do plano AB e AC:

V e t o r   A B   =   B   -   A   =   ( 2 ,   1 ,   - 1 )   -   ( 1 ,   0 ,   1 )   =   ( 1 ,   1 ,   - 2 )

V e t o r   A C   =   C   -   A   =   ( 1 ,   - 1 ,   0 )   -   ( 1 ,   0 ,   1 )   =   ( 0 ,   - 1 ,   - 1 )

Passo 2

Agora, podemos encontrar o vetor normal ao plano, que é o produto vetorial entre AB e AC:

Vetor normal ao plano

N   =   A B   x   A C   =   ( 1 ,   1 ,   - 2 )   x   ( 0 ,   - 1 ,   - 1 )

Para calcular o produto vetorial, você pode usar a seguinte fórmula:

N   =   ( ( 1   *   ( - 1 )   -   ( - 2 )   *   ( - 1 ) ) ,   ( ( - 2 )   *   0   -   1   *   ( - 1 ) ) ,   ( 1   *   ( - 1 )   -   1   *   0 ) )

N   =   ( 1   +   2 ,   0   -   ( - 1 ) ,   - 1 )   =   ( 3 ,   1 ,   - 1 )

Agora que temos o vetor normal N = (3, 1, -1), podemos usar os pontos A, B ou C para encontrar D na equação geral do plano. Vamos usar o ponto A:

D   =   - A   ·   N   =   - ( 1 ,   0 ,   1 )   ·   ( 3 ,   1 ,   - 1 )   =   - ( 3   -   0   -   1 )   =   - 2

Agora, podemos escrever a equação geral do plano:

3 x   +   y   -   z   =   - 2

Passo 3

Essa é a equação geral do plano que passa por A, B e C. Para as equações paramétricas, você pode escrevê-las da seguinte forma:

x   =   t

y   =   2 t   +   2

z   =   3 t   -   1

Resposta

3 x   +   y   -   z   =   - 2

x   =   t

y   =   2 t   +   2

z   =   3 t   -   1

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