Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Determine a projeção ortogonal do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano π : 3x − 4y + 2 = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a projeção ortogonal do ponto P no plano π dado pela equação

3 x   −   4 y   +   2   =   0

Da equação acima, vemos que o plano π é ortogonal ao vetor (3,-4,0) pois o plano π é paralelo ao plano dado pela equação

3 x - 4 x = 0

Apenas com todos os pontos deslocados de um fator +2. Portanto, temos que todos os vetores (x,y,z) contidos no plano π são ortogonais ao vetor (3.-4,0). Assim, para calcular a projeção do ponto P sobre o plano π , precisamos subtrair do ponto P a sua projeção no vetor ortogonal ao plano: (3,-4,0).

Então vamos lá ver como a gente faz isso!

Passo 2

Primeiramente, vamos definir um vetor unitário na direção do vetor v = (3,-4,0) simplesmente dividindo-o pelo seu módulo:

v = 3 ² + ( - 4 ) ² = 5

Então, temos um vetor unitário dado por

3 5 , - 4 5 , 0

Então, temos que a projeção do ponto P no vetor ortogonal ao plano π é dado pelo produto escalar entre os vetores

3 5 , - 4 5 , 0 ⋅ 4,0 , 1 = 12 5

Portanto, a projeção do ponto P no plano π é simplesmente o vetor (4,0,1) subtraído de sua componente ortogonal ao plano, dada por

P ⊥ = 12 5 3 5 , - 4 5 , 0

A projeção sobre o plano é, portanto,

P r o j e ç ã o   =   P - P ⊥ = ( 4,0 , 1 ) - 12 5 3 5 , - 4 5 , 0 = 64 25 , 48 25 , 1

Portanto, a projeção sobre o plano π do vetor que liga a origem ao ponto P = (4,0,1) é

64 25 , 48 25 , 1

Resposta

64 25 , 48 25 , 1

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