UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 17
Determine a projeção ortogonal do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano π : 3x − 4y + 2 = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular a projeção ortogonal do ponto P no plano dado pela equação
Da equação acima, vemos que o plano é ortogonal ao vetor (3,-4,0) pois o plano é paralelo ao plano dado pela equação
Apenas com todos os pontos deslocados de um fator +2. Portanto, temos que todos os vetores (x,y,z) contidos no plano são ortogonais ao vetor (3.-4,0). Assim, para calcular a projeção do ponto P sobre o plano , precisamos subtrair do ponto P a sua projeção no vetor ortogonal ao plano: (3,-4,0).
Então vamos lá ver como a gente faz isso!
Passo 2
Primeiramente, vamos definir um vetor unitário na direção do vetor v = (3,-4,0) simplesmente dividindo-o pelo seu módulo:
Então, temos um vetor unitário dado por
Então, temos que a projeção do ponto P no vetor ortogonal ao plano é dado pelo produto escalar entre os vetores
Portanto, a projeção do ponto P no plano é simplesmente o vetor (4,0,1) subtraído de sua componente ortogonal ao plano, dada por
A projeção sobre o plano é, portanto,
Portanto, a projeção sobre o plano do vetor que liga a origem ao ponto P = (4,0,1) é