UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 5c
c) Dê a equação geral para cada um dos três planos coordenados.
(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos pede para escrever a equação geral dos planos coordenados. A equação geral de um plano é uma equação da forma
Para o primeiro plano, dado pela equação:
Temos que todos os pontos (x,y,z) contidos nesse plano são da forma
Portanto, podemos escrever a equação deste plano como
Para o segundo plano, dado pela equação:
Podemos fazer algo semelhante. Podemos escrever a equação deste plano como
Para o terceiro plano, dado pela equação
Escrevendo a equação geral deste plano obtemos
Agora, vamos dar uma olhada nos dois últimos casos que têm equações um pouco mais elaboradas. Então vamos lá!
Passo 2
O plano dado pela equação (iv) é um plano que passa pela origem e não depende da coordenada y, visto que sua equação é dada por x − z = 0. Então para esse plano, podemos escrever a equação geral como
Finalmente, para o último plano dado pela equação , temos que o ponto (0,0,3) pertence a essa superfície, pois obtemos uma identidade quando inserimos esse ponto na equação. Portanto podemos utilizar esse ponto para escrever a equação geral do plano (v) como:
Resposta
Desenvolvida ao longo da questão.