c) Dê a equação geral para cada um dos três planos coordenados.

(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para escrever a equação geral dos planos coordenados. A equação geral de um plano é uma equação da forma

a ( x - x 0 ) + b ( y - y 0 ) + c ( z - z 0 ) = 0

Para o primeiro plano, dado pela equação:

x = 2

Temos que todos os pontos (x,y,z) contidos nesse plano são da forma

( x , y , z ) = ( 2 , y , z )

Portanto, podemos escrever a equação deste plano como

1 ( x - 2 ) + 0 ( y - y 0 ) + 0 ( z - z 0 ) = 0       ⇒   x - 2 = 0

Para o segundo plano, dado pela equação:

y = - 1

Podemos fazer algo semelhante. Podemos escrever a equação deste plano como

0 ( x - x 0 ) + 1 ( y + 1 ) + 0 ( z - z 0 ) = 0       ⇒   y + 1 = 0

Para o terceiro plano, dado pela equação

z = - 4

Escrevendo a equação geral deste plano obtemos

0 ( x - x 0 ) + 0 ( y - y 0 ) + 1 ( z + 4 ) = 0       ⇒   z + 4 = 0

Agora, vamos dar uma olhada nos dois últimos casos que têm equações um pouco mais elaboradas. Então vamos lá!

Passo 2

O plano dado pela equação (iv) é um plano que passa pela origem e não depende da coordenada y, visto que sua equação é dada por x − z = 0. Então para esse plano, podemos escrever a equação geral como

1 ( x - 0 ) + 0 ( y - y 0 ) - 1 ( z - 0 ) = 0       ⇒     x - z = 0

Finalmente, para o último plano dado pela equação 2 x   +   3 y   +   4 z   −   12   =   0 , temos que o ponto (0,0,3) pertence a essa superfície, pois obtemos uma identidade quando inserimos esse ponto na equação. Portanto podemos utilizar esse ponto para escrever a equação geral do plano (v) como:

2 ( x - 0 ) + 3 ( y - 0 ) + 4 ( z - 3 ) = 0         ⇒ 2 x   +   3 y   +   4 z   −   12   =   0    

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica