UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 10
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (2 , 0 , −3) e:
(a) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1 , 0 , 4) e C = (2 , 1 , 3).
(b) é paralela a
(c) é paralela à reta s :
Passo 1
Eaew, belezinha?
O primeiro item da questão nos pede para escrever equações da reta r que passa pelo ponto A e que é paralela à reta que contém os pontos B e C. Primeiramente, vamos determinar uma equação para a reta s que passa pelos pontos B e C.
Como os pontos possuem coordenadas (1,0,4) e (2,1,3), podemos escrever a equação paramétrica da reta como
Assim, vemos que quanto t = 0 e quanto t =1, estamos sobre os pontos B e C, respectivamente. Então, alternativamente, podemos escrever a equação dessa reta de modo a evidenciar seu vetor diretor
Então, temos que essa reta possui a direção do vetor (1,1,-1). Logo, a reta paralela que procuramos possui esse vetor diretor. Agora, só precisamos encontrar um vetor deslocamento de modo que a reta que procuramos passe pelo ponto A com coordenadas (2,0,-3). Assim, fazemos
Essa reta possui vetor diretor (1,1,-1) e, além disso, quando t = 1, temos o ponto com coordenadas (2,0,-3), que vem a ser o ponto A.
Então, agora que já temos a equação paramétrica da reta, podemos passar para o próximo item. Bora lá!
Passo 2
No segundo item, queremos novamente determinar uma reta que passe pelo ponto A = (2, 0, -3) mas dessa vez que seja paralela a . Então, primeiramente, vamos achar uma equação paramétrica para s. Como temos a relação acima entre as coordenadas dos pontos da reta, podemos escrevê-la como
Então, temos que o vetor diretor da reta s é o vetor com componentes . Então, para que a reta r que queremos determinar seja paralela a reta s, precisamos que ela tenha o mesmo vetor diretor. Além disso, queremos que ela passe pelo ponto A = (2,0,-3). Então, a equação da reta que procuramos pode ser escrita como
Assim, quando fazemos t =1, estamos sob o ponto A = (2,0,-3), como exigido pelo enunciado. Além disso, a reta tem a direção do vetor diretor da reta s. Então, agora que já temos a equação paramétrica da reta, podemos passar para o próximo item. Então vamos lá!
Passo 3
O terceiro item nos pede para determinar uma reta paralela a. A reta já está parametrizado, então só precisamos escrever sua equação na forma vetorial, que é dada por
Então, da equação acima, vemos que o vetor diretor da reta é o vetor (-2,1,-1). Então, para que a reta que procuramos seja paralela a reta s, ela deve possuir o mesmo vetor diretor. Além disso, ela deve passar pelo ponto A = (2,0,-3). Então, só precisamos encontrar um vetor deslocamento inicial de modo que a reta contenha o ponto A. Então, podemos escrever a equação da reta como
Assim, o ponto A está contido na reta, quando fazemos o parâmetro t = 1. Portanto, essa equação representa uma reta com a mesma direção de s e que passa pelo ponto A.
Resposta
i)
ii)
iii)