Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (2 , 0 , −3) e:

(a) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1 , 0 , 4) e C = (2 , 1 , 3).

(b) é paralela a s :   1 - x 5 = 3 y 4 = z + 3 6

(c) é paralela à reta s : x   =   1   −   2 λ ,     y   =   4   +   λ ,     z   =   − 1   −   λ

Passo 1

Eaew, belezinha?

O primeiro item da questão nos pede para escrever equações da reta r que passa pelo ponto A e que é paralela à reta que contém os pontos B e C. Primeiramente, vamos determinar uma equação para a reta s que passa pelos pontos B e C.

Como os pontos possuem coordenadas (1,0,4) e (2,1,3), podemos escrever a equação paramétrica da reta como

s :   ( t + 1 ,   t ,   4 - t )

Assim, vemos que quanto t = 0 e quanto t =1, estamos sobre os pontos B e C, respectivamente. Então, alternativamente, podemos escrever a equação dessa reta de modo a evidenciar seu vetor diretor

s :   ( 1,0 , 4 ) + t ( 1,1 , - 1 )

Então, temos que essa reta possui a direção do vetor (1,1,-1). Logo, a reta paralela que procuramos possui esse vetor diretor. Agora, só precisamos encontrar um vetor deslocamento de modo que a reta que procuramos passe pelo ponto A com coordenadas (2,0,-3). Assim, fazemos

r :   ( 1 , - 1 , - 2 ) + t ( 1,1 , - 1 )

Essa reta possui vetor diretor (1,1,-1) e, além disso, quando t = 1, temos o ponto com coordenadas (2,0,-3), que vem a ser o ponto A.

Então, agora que já temos a equação paramétrica da reta, podemos passar para o próximo item. Bora lá!

Passo 2

No segundo item, queremos novamente determinar uma reta que passe pelo ponto A = (2, 0, -3) mas dessa vez que seja paralela a s :   1 - x 5 = 3 y 4 = z + 3 6 . Então, primeiramente, vamos achar uma equação paramétrica para s. Como temos a relação acima entre as coordenadas dos pontos da reta, podemos escrevê-la como

s :   1 - 15 y x ,   y ,   9 y 2 - 3 = ( 1 ,   0 ,   - 3 ) + y - 15 4 ,   1 ,   9 2

Então, temos que o vetor diretor da reta s é o vetor com componentes - 15 4 ,   1 ,   9 2 . Então, para que a reta r que queremos determinar seja paralela a reta s, precisamos que ela tenha o mesmo vetor diretor. Além disso, queremos que ela passe pelo ponto A = (2,0,-3). Então, a equação da reta que procuramos pode ser escrita como

r :   t - 15 4 ,   1 ,   9 2 + 23 4 , - 1 , - 15 2

Assim, quando fazemos t =1, estamos sob o ponto A = (2,0,-3), como exigido pelo enunciado. Além disso, a reta tem a direção do vetor diretor da reta s. Então, agora que já temos a equação paramétrica da reta, podemos passar para o próximo item. Então vamos lá!

Passo 3

O terceiro item nos pede para determinar uma reta paralela a s :   x = 1 - 2 λ , y =   4 + λ ,   z = − 1   −   λ . A reta já está parametrizado, então só precisamos escrever sua equação na forma vetorial, que é dada por

s :   ( 1 - 2 λ ,   4 + λ ,   − 1   −   λ ) = ( 1,4 , - 1 ) + λ ( - 2,1 , - 1 )

Então, da equação acima, vemos que o vetor diretor da reta é o vetor (-2,1,-1). Então, para que a reta que procuramos seja paralela a reta s, ela deve possuir o mesmo vetor diretor. Além disso, ela deve passar pelo ponto A = (2,0,-3). Então, só precisamos encontrar um vetor deslocamento inicial de modo que a reta contenha o ponto A. Então, podemos escrever a equação da reta como

r :   ( 4 , - 1 , - 2 ) + t ( - 2,1 , - 1 )

Assim, o ponto A está contido na reta, quando fazemos o parâmetro t = 1. Portanto, essa equação representa uma reta com a mesma direção de s e que passa pelo ponto A.

Resposta

i) r :   ( 1 , - 1 , - 2 ) + t ( 1,1 , - 1 )

ii) r :   t - 15 4 ,   1 ,   9 2 + 23 4 , - 1 , - 15 2

iii) r :   ( 4 , - 1 , - 2 ) + t ( - 2,1 , - 1 )

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