UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 12a
Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:
, ,
encontrar os valores de m ∈ R de modo que:
- as retas r e s sejam paralelas e não coincidentes;
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e s não se encontrem em nenhum ponto (e, portanto, não sejam concorrentes) e sejam paralelas entre si. Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma
Por outro lado, os pontos (x,y,z) contidos na reta s, são da forma
Portanto, para que as retas sejam paralelas, precisamos que seus vetores diretores, independentemente do vetor deslocamento, sejam paralelos entre si: ou seja, as componentes dos vetores que dão as direções das retas devem ser múltiplos, com o mesmo fator. Então bora lá checar essa condição!
Passo 2
Como as componentes dos vetores diretores devem ser múltiplos, temos as equações
Onde k é o fator multiplicativo. Da segunda equação, temos a exigência de que k=1 e portanto, substituindo na primeira equação, obtemos
Portanto m pode ser + 1 ou -1. No entanto, da última equação, obtemos que k = m. Portanto m deve ser igual à 1. Assim, temos que as equações das retas r e s, são
Desse modo, vemos que as retas possuem o mesmo vetor diretor, (1,1,1), mas todos os pontos da reta r estão deslocados do vetor (-1, 0, -1) em relação à reta s, que passa pela origem.