Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

r :   x =   m y - 1 ;   z   =   y - 1 , s :   x = y m = z , t :   − x   +   z   =   y   =   − z   −   1 ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

  1. as retas r e s sejam paralelas e não coincidentes;

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinarmos os valores de m tal que as retas r e s não se encontrem em nenhum ponto (e, portanto, não sejam concorrentes) e sejam paralelas entre si. Bem, do enunciado, temos que todos os pontos (x,y,z) contidos na reta r são da forma

( x , y , z ) = ( m y - 1 ,   y ,   y - 1 ) = y ( m , 1,1 ) + ( - 1,0 , - 1 )

Por outro lado, os pontos (x,y,z) contidos na reta s, são da forma

( x , y , z ) = y 1 m ,   1 ,   1 m + ( 0,0 , 0 )

Portanto, para que as retas sejam paralelas, precisamos que seus vetores diretores, independentemente do vetor deslocamento, sejam paralelos entre si: ou seja, as componentes dos vetores que dão as direções das retas devem ser múltiplos, com o mesmo fator. Então bora lá checar essa condição!

Passo 2

Como as componentes dos vetores diretores devem ser múltiplos, temos as equações

m = k m

1 = k

1 = k m

Onde k é o fator multiplicativo. Da segunda equação, temos a exigência de que k=1 e portanto, substituindo na primeira equação, obtemos

m = 1 m   ⇒ m ² = 1     ⇒   m = ± 1

Portanto m pode ser + 1 ou -1. No entanto, da última equação, obtemos que k = m. Portanto m deve ser igual à 1. Assim, temos que as equações das retas r e s, são

r : ( y - 1 ,   y ,   y - 1 ) = y ( 1,1 , 1 ) + ( - 1,0 , - 1 )  

s : y 1 ,   1 ,   1 + ( 0,0 , 0 )  

Desse modo, vemos que as retas possuem o mesmo vetor diretor, (1,1,1), mas todos os pontos da reta r estão deslocados do vetor (-1, 0, -1) em relação à reta s, que passa pela origem.

Resposta

m = 1

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