Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta t perpendicular com as retas

r   : X = 1,2 , 3 Σ + λ 2 , - 1,0 c

s   : X = 0,1 , - 3 Σ + λ 1 , - 1 , - 2 c

Passo 1

Para encontrar uma reta ( t ) perpendicular às retas ( r )   e   ( s ) , podemos utilizar o produto vetorial entre os vetores diretores das retas ( r )   e   ( s ) . O vetor diretor de ( t ) será o produto vetorial desses vetores diretores.

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas ( r )   e   ( s ) :

Para a reta ( r ) :

[ v r = 2 , - 1,0 ]

Para a reta ( s ) :

[ v s = 1 , - 1 , - 2 ]

Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores para obter o vetor diretor da reta ( t ) :

[ v t = v r × v s ]

O produto vetorial ( v r × v s \ ) pode ser calculado da seguinte forma:

v t = i j k 2 - 1 0 1 - 1 2

Usando a regra do determinante, calculamos o produto vetorial:

= - 2 i - 4 j - k

Passo 2

Agora temos o vetor diretor da reta ( t ) , que é - 2 i - 4 j - k . Para representar essa reta em uma equação vetorial, precisamos encontrar um ponto onde nossa reta cruze r e s. Sabemos que um ponto dado pela nossa reta t tem a cara de

Um ponto A qualquer pertencente a r pode ser escrito como

A = 1,2 , 3 Σ + λ 2 , - 1,0 c

E um ponto B pertencente a s

B = 0,1 , - 3 Σ + t 1 , - 1 , - 2 c

O vetor AB, que liga as duas então pode ser dado como

A B = B - A = 0,1 , - 3 Σ + t 1 , - 1 , - 2 c - 1,2 , 3 Σ + λ 2 , - 1,0 c

A B = - 1 , - 1,0 + t - 2 λ , - t - λ , - 2 t

Podemos tornar o vetor diretor da reta perpendicular a ambas como sendo AB, que encontramos, desde que o vetor AB seja perpendicular ao vetor direto da reta r. Os dois vetores serão perpendiculares somente se o produto escalar entre elas for igual a 0:

2 , - 1,0 ∙ - 1 + t - 2 λ , - 1 - t - λ , - 2 t = 0

- 2 + 2 t - 4 λ +   1 + t + λ = 0

3 t - 3 λ = 1

Agora para a reta s

1 , - 1 , - 2 ∙ - 1 + t - 2 λ , - 1 - t - λ , - 2 t = 0

- 1 + t - 2 λ + 1 + t + λ + 4 t = 0

6 t - λ = 0

λ = 6 t

Encontrando os valores de lambda e de t

3 t - 3 6 t = 1

- 15 t = 1

t = - 1 15

λ = 6 - 1 15

λ = - 2 5

O vetor AB será então

A B = - 1 , - 1,0 + t - 2 λ , - t - λ , - 2 t

A B = - 1 , - 1,0 + - 1 15 - 2 - 2 5 , 1 15 + 2 5 , 2 15

A B = - 4 15 , 8 15 , 2 15

Com o vetor diretor em mão, agora temos nossa reta perpendicular a ambas:

p : X = A + u - 4 15 , 8 15 , 2 15

Onde A

A = 1,2 , 3 Σ + λ 2 , - 1,0 c

A = 1,2 , 3 + - 2 5 2 , - 1,0

A = 1 5 , 12 5 , 3

p : X = 1 5 , 12 5 , 3 + u - 4 15 , 8 15 , 2 15

Resposta

p : X = 1 5 , 12 5 , 3 + u - 4 15 , 8 15 , 2 15

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