UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 13
Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém o ponto P = (1 , 1 , 0), é paralela ou
está contida no plano dado por π : 2 x + y − z − 3 = 0 e é concorrente à reta dada por r : (x , y , z) =
(1 , 0 , 0) + λ(−1 , 0 , 1), para λ ∈ R.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar uma equação vetorial para uma reta que contenha o ponto (1,1,0), seja paralela ao plano e que seja concorrente à reta r, ou seja, elas se cruzam em algum ponto. Primeiramente, vamos notar que o ponto (1,1,0) está contido no plano , pois
Então, a reta que procuramos, por ser paralela ao plano e possuir um ponto em comum, está contida no plano. Assim, para ser concorrente a reta r, precisamos calcular o ponto onde a reta r intercepta o plano. Como todo os pontos de r são da forma
Se inserirmos essas coordenadas na equação do plano, obtemos
Então, o ponto onde a reta r e o plano se interceptam é o ponto com coordenadas . Assim, temos dois pontos sobre o plano que fazem parte da reta que procuramos. Se encontrarmos uma equação vetorial para o segmento entre esses dois pontos, a extensão dessa reta irá satisfazer as duas condições: ser concorrente à r e ser paralela (no caso, contida) ao plano . Então, bora lá determinar a equação da reta que passa por esses pontos!
Passo 2
Como a reta s que procuramos passa pelo ponto de interseção entre a reta r e o plano, , podemos começar com esse ponto para a equação da reta. Precisamos de um parâmetro real tal que, para algum valor desse parâmetro, a reta passe pelo ponto P = (1,1,0). Se fizermos isso, teremos determinado a equação da reta s inteira. Então, podemos escrever
Quando o parâmetro é igual à zero, estamos sob o ponto onde as duas retas se encontram e quando é igual à 1, estamos no ponto (1,1,0), como exigido pelo enunciado. Além disso, o vetor diretor de reta s, , é perpendicular ao vetor ortogonal ao plano (2,1,-1). Então, a reta s é paralela ao plano. No caso, a reta s determinada está contida no plano .