UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 11a
O plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =
(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +
λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(a) Obtenha uma equação geral para cada um dos três planos.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para determinar as equações gerais dos três planos . A equação geral de um plano é uma equação da forma
Para os planos e , temos que as equações paramétricas foram praticamente dadas: o plano é paralelo aos vetores u e v, e, portanto, os tem como seus vetores geradores e está deslocado da origem pelo vetor (-1, -1, 0). Então, a equação paramétrica desse plano é dada por
E a equação do plano já nos foi dada de cara:
Então, agora, falta determinar a equação paramétrica de . Como esse plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), podemos escrever sua equação na forma:
Pois quando , temos o ponto C, quando temos o ponto B e, quando , temos o ponto A. Agora que já temos as equações na forma paramétrica, só precisamos escrevê-las na forma da equação geral de um plano. Então bora lá!
Passo 2
Vamos começar com o plano . Dada sua equação paramétrica, , temos que todos os pontos contidos no plano são da forma
Portanto, podemos definir , e . Portanto, a equação do plano na forma geral é dada por
Para o plano temos a equação paramétrica . Portanto, todos os pontos contidos no plano são da forma
Se definirmos , , então temos que
Portanto, podemos escrever a componente z como . Então, a equação geral do plano é dada por
Por último, para o plano temos a equação paramétrica
Então, todos os pontos contidos nesse plano são da forma
Se definirmos e temos que
Então, podemos escrever a componente x como . Portanto, temos que a equação do plano é dada por