UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 5b
(b) Dê a equação paramétrica para cada um dos três planos coordenados.
(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos pede para escrever a equação paramétrica de cada um dos 5 planos dados. Para o primeiro plano, dado pela equação:
Temos que todos os pontos (x,y,z) contidos nesse plano são da forma
Portanto, considerando os parâmetros s e t, podemos escrever uma equação vetorial que gera todos os pontos desse plano P fazendo
Onde (0,1,0) e (0,0,1) são os vetores linearmente independentes que geram o plano e estão deslocados da origem pelo vetor (2,0,0).
Para o segundo plano, dado pela equação:
Podemos fazer algo semelhante. Como todos os pontos (x,y,z) são da forma
Portanto, considerando os parâmetros s e t, podemos escrever uma equação vetorial que gera todos os pontos desse plano como
Onde dessa vez os vetores (1,0,0) e (0,0,1) geram o plano e são deslocados pelo vetor (0,-1, 0).
Para o terceiro plano, dado pela equação
Onde todos os pontos do plano são da forma
Então, novamente, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever todos os pontos do plano como
Agora, vamos dar uma olhada nos dois últimos casos que tem equações um pouco mais elaboradas. Então vamos lá!
Passo 2
A equação do quarto plano é dada por
Podemos reescrever essa equação como x = z. Então, temos que todos os pontos sobre esse plano possui coordenadas na forma
Desse modo, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever a equação do plano na forma paramétrica como:
Para o quinto e último plano, temos a equação dada por
Se escrevermos a coordenada z em função das coordenadas x e y, obtemos
Então, podemos escrever todos os pontos (x,y,z) do plano como
Assim, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever os pontos como