(b) Dê a equação paramétrica para cada um dos três planos coordenados.

(i) x = 2; (ii) y + 1 = 0; (iii) z + 4 = 0; (iv) x − z = 0; (v) 2x + 3y + 4z − 12 = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para escrever a equação paramétrica de cada um dos 5 planos dados. Para o primeiro plano, dado pela equação:

x = 2

Temos que todos os pontos (x,y,z) contidos nesse plano são da forma

( x , y , z ) = ( 2 , y , z )

Portanto, considerando os parâmetros s e t, podemos escrever uma equação vetorial que gera todos os pontos desse plano P fazendo

P :   ( 2,0 , 0 ) + s ( 0,1 , 0 ) + t ( 0,0 , 1 )  

Onde (0,1,0) e (0,0,1) são os vetores linearmente independentes que geram o plano e estão deslocados da origem pelo vetor (2,0,0).

Para o segundo plano, dado pela equação:

y = - 1

Podemos fazer algo semelhante. Como todos os pontos (x,y,z) são da forma

( x , y , z ) = ( x , - 1 , z )

Portanto, considerando os parâmetros s e t, podemos escrever uma equação vetorial que gera todos os pontos desse plano como

  ( 0 , - 1,0 ) + s ( 1,0 , 0 ) + t ( 0,0 , 1 )  

Onde dessa vez os vetores (1,0,0) e (0,0,1) geram o plano e são deslocados pelo vetor (0,-1, 0).

Para o terceiro plano, dado pela equação

z = - 4

Onde todos os pontos do plano são da forma

( x , y , z ) = ( x , y , - 4 )

Então, novamente, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever todos os pontos do plano como

( 0,0 , - 4 ) + s ( 1,0 , 0 ) + t ( 0,1 , 0 )

Agora, vamos dar uma olhada nos dois últimos casos que tem equações um pouco mais elaboradas. Então vamos lá!

Passo 2

A equação do quarto plano é dada por

x   −   z   =   0 ;

Podemos reescrever essa equação como x = z. Então, temos que todos os pontos sobre esse plano possui coordenadas na forma

( x , y , z ) = ( x , y , x )

Desse modo, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever a equação do plano na forma paramétrica como:

s ( 1,0 , 1 ) + t ( 0,1 , 0 )

Para o quinto e último plano, temos a equação dada por

2 x   +   3 y   +   4 z   −   12   =   0

Se escrevermos a coordenada z em função das coordenadas x e y, obtemos

z = - 1 2 x - 3 4 y + 3

Então, podemos escrever todos os pontos (x,y,z) do plano como

( x , y , z ) = x , y , - 1 2 x - 3 4 y + 3

Assim, definindo os parâmetros s e t, podemos escrever os pontos como

( 0,0 , 3 ) + s 1,0 , - 1 2 + t 0,1 , - 3 4

Resposta

P 1 :   ( 2,0 , 0 ) + s ( 0,1 , 0 ) + t ( 0,0 , 1 )  

P 2 :   ( 0 , - 1,0 ) + s ( 1,0 , 0 ) + t ( 0,0 , 1 )

P 3 :   ( 0,0 , - 4 ) + s ( 1,0 , 0 ) + t ( 0,1 , 0 )

P 4 :   s ( 1,0 , 1 ) + t ( 0,1 , 0 )

P 5   :   ( 0,0 , 3 ) + s 1,0 , - 1 2 + t 0,1 , - 3 4

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica