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Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas Sonoras

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Enunciado

Três alto-falantes A 1 ,   A 2 e A 3 emitem ondas sonoras idênticas e em fase. Os alto-falantes estão em posições diferentes em relação ao ouvinte, mas todos estão contidos em um mesmo plano, como ilustrado na figura. Considere toda faixa de audição de um ser humano médio, 20 H z   a   20   K H z , e velocidade do som no ar igual a 340   m / s .

  1. Suponha que o alto-falante A 3 está desligado, ou seja, considere apenas os alto-falantes A 1   e   A 2 . Nesse caso, quais são os comprimentos de onda que fazem com que nenhum sinal sonoro seja detectado pelo ouvinte?
  2. Ainda nesse caso, quantas possíveis frequências existem na faixa de audição do ser humano médio?
  3. Agora, suponha que o alto-falante A 3 foi ligado, de forma que os três alto-falantes estão emitindo ondas sonoras. Nesse caso, qual é a menor frequência que faz com que o som que chegue ao ouvinte tenha a maior amplitude possível?

Passo 1

Para que a intensidade do som seja mínima, a interferência das ondas advindas de A1 e A2 é destrutiva. A diferença entre os caminhos percorridos pelas ondas emitidas pelos alto-falantes A1 e A2 deve ser um múltiplo semi-inteiro do comprimento de onda ( λ ). A distância entre A1 e o ouvinte é L 1   = 4 m e a distância entre A2 e o ouvinte é L 2 = 4 2 + 3 2 = 5 m . Portanto, para haver interferência destrutiva devemos ter:

λ = ∆ L 21 n + 1 2 = ( L 2 - L 1 ) / ( n + 1 2 ) = ( 5 - 4 ) / ( n + 1 2 ) = 1 / ( n + 1 2 ) , onde n = 0,1 , 2 …

Passo 2

Para encontrar o número n de possíveis frequências na faixa que um humano médio pode escutar, faz-se f m a x   = 20   K H z :

f m á x = 20000 H z = 340 n + 1 2 H z

n ≅ 58

Mas como nosso n começa de zero, estaremos no 59 ° harmônico.

Passo 3

Para que a amplitude seja máxima, a interferência das ondas sonoras emitidas pelos alto-falantes deve ser construtiva. Para que que isso aconteça a diferença entre os caminhos percorridos pelas ondas deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda, de modo que:

λ = ∆ L n

Como são três alto-falantes, temos:

λ = ∆ L 21 n 1 = ( L 2 - L 1 ) / n 1 = 5 - 4 / n 1 = 1 / n 1 metros, com n 1 = 1,2 , 3 . .

λ = ∆ L 32 n 2 = ( L 3 - L 2 ) / n 2 = 10 - 5 / n 2 = 5 / n 2 metros, com n 2 = 1,2 , 3 …

λ = ∆ L 31 n 3 = ( L 3 - L 1 ) / n 3 = 10 - 4 / n 3 = 6 / n 3 metros, com n 3 = 1,2 , 3 …

Devemos considerar apenas os comprimentos de onda que permitem que as três interferências sejam construtivas simultaneamente, o que ocorre quando n 2 =   5 n 1   e   n 3 = 6 n 1 , ou seja, a amplitude é máxima quando:

λ = 1 / n 1   metros, com n 1 = 1,2 , 3 . .

Portanto, o maior comprimento de onda (que dará origem à menor frequência é λ = 1 m , que ocorre quando n 1   =   1 .   Como a v s o m = λ f , segue que:

f = v λ = 340 1 = 340 H z

Resposta

A)     λ = 1 / ( n + 1 2 )

B)     n ≅ 58 ,   59 ° harmônico.

C) 340 H z

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