Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Passo 1

Primeiro, vamos expandir cada termo dessa série:

a 1 = 1

a 2 = 1 + 1 2

a 3 = 1 + 1 2 + 1 3

a 4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4

A ideia aqui é pegarmos um termo que seja menor do que aquele que aparece na parcela, formando uma série S ' menor do que a que já temos, já que queremos provar que é divergente. Olha um exemplo:

a 4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4

Olha aquele pedaço:

1 3 + 1 4

A gente sabe que certamente ele é maior que

1 4 + 1 4

Então a gente tira o 1 3 e colocamos 1 4 no lugar dele. Podemos escrever a série então como:

S n = ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 + …

S n > S ' = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + 1 1 6 + …

Percebe que a gente está sempre pegando o cara mais próximo de ser uma potência de dois. No primeiro caso, o ¼ era o último termo depois do 1 / 3 . Depois, o 1 / 8 era o último termo depois de 1 5 , 1 6 , 1 7 . Pra quê fazemos isso? Olha só:

1 4 + 1 4 = 1 2

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2

Então estamos ficando com:

S n > S ' = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + …

E isso pode ser escrito como:

S n > S ' = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …

Que diverge. Portanto, a nossa série é sempre maior que ela e diverge também.

Resposta

É divergente.

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Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ 1 n 3
Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ a n cujas somas parciais são dadas. s n = n 2 - 1 4 n 2 + 1
Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .63. ∑ n = 0 ∞ e n x
Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .59. ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n
75. Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ! Calcule as somas parciais s 1 ,s 2 ,s 3 e s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .Use indução matemática pa