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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Quais das séries abaixo são condicionalmente convergentes e quais são absolutamente convergentes (justifique sua resposta):

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1

Passo 1

Cara, vamos abrir essa série um pouco para ver como ela é. Repara que ela começa de n = 2 :

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1 = 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 2 + 1 + 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 3 + 1 + 1 ln ⁡ 4 - 1 ln ⁡ 4 + 1 + …

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1 = 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 3 + 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 4 + 1 ln ⁡ 4 - 1 ln ⁡ 5 + …

Percebe que aparecem termos iguais, mas com sinais opostos, ou seja, eles vão se anulando a cada n .

E acaba que só sobra o termo 1 / ln ⁡ 2 , isso porque não vai aparecer um termo como ele negativo, já que n só cresce. E o último termo 1 / ln ⁡ n + 1 , porque não teremos mais termos vindos depois dele, então ele não é “anulado” também.

Então a gente escreve que

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1 = 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ n + 1

Passo 2

Só que a gente sabe que esse último termo só acontece para um número de n indefinidamente grande, então a gente pode dizer que n → ∞ , para esse último termo, e aí:

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ n + 1 = 1 ln ⁡ 2   + 0

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n - 1 ln ⁡ n + 1 = 1 ln ⁡ 2  

Logo, essa bonita é absolutamente convergente. A gente até achou para que valor ela converge. 😊

Resposta

Absolutamente convergente

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