Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n

Passo 1

Cara, vamos abrir essa série um pouco para ver como ela é. Repara que ela começa de n = 4 :

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n = 1 4 - 3 - 1 4 + 1 5 - 3 - 1 5 + 1 6 - 3 - 1 6 + 1 7 - 3 - 1 7 + 1 8 - 3 - 1 8 + …

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n = 1 - 1 4 + 1 2 - 1 5 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 7 + 1 5 - 1 8 + …

Percebe que aparecem termos iguais, mas com sinais opostos, ou seja, eles vão se anulando a cada n . Ali a gente vê que aparece um 1 / 4 e depois um - 1 / 4 , e isso vai acontecendo conforme n aumenta.

a 4 + a 5 + a 6 + … + a n - 3 + a n - 2 + a n - 1 + a n = 1 - 1 4 + 1 2 - 1 5 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 7 + 1 5 - 1 8 + …

+ 1 n - 3 - 3 - 1 n - 3 + 1 n - 2 - 3 - 1 n - 2 + 1 n - 1 - 3 - 1 n - 1 + 1 n - 3 - 1 n

Repara que até o termo 1 / ( n - 3 )   é anulado ali com o penúltimo termo.

E acaba que só sobra os termos 1 + 1 2 + 1 3 , isso porque não vai aparecer um termo como eles, mas negativos, já que n só cresce. E os termos

- 1 n , - 1 n - 1 , - 1 n - 2

porque não teremos mais termos vindos depois deles que possam “anula-los” também. E os termos anteriores com certeza não vão os anular porque não há termos anteriores que chegam a ter denominadores tão altos.

Então a gente escreve que

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n - 1 n - 1 - 1 n - 2

Passo 2

Só que a gente sabe que isso só acontece em um número de n indefinidamente grande, então a gente pode dizer que n → ∞ , para esses termos e aí:

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n - 1 n - 1 - 1 n - 2 = 1 + 1 2 + 1 3 - 0 - 0 - 0

∑ n = 4 ∞ 1 n - 3 - 1 n = 1 + 1 2 + 1 3

Logo, essa bonita é convergente. A gente até achou para que valor ela converge. 😊

Resposta

Convergente

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