UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P2 - 2008.2, Questão 1
Determinar o polinômio de MacLaurin de grau da função .
Sugestão: Lembrar a fórmula trigonométrica e o desenvolvimento de MacLaurin de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de MacLaurin de grau da função . Ou seja, nós devemos encontrar uma aproximação em série de potências para essa função. Ele nos deu a sugestão de usarmos a fórmula trigonométrica e o desenvolvimento de MacLaurin de .
Tá, mas quem é a série de Maclaurin mesmo? Ela é um caso especial da série de Taylor, que é uma representação da função centrada em zero e tem a forma geral:
A série de Maclaurin para a função cosseno, que ele nos dá como sugestão, é encontrando usando suas derivadas (conforme a forma geral), de modo que tem-se:
Mas como isso nos ajuda? Lembrando da outra sugestão do enunciado, a de usar . Assim, vamos poder usar o desenvolvimento de Maclaurin na identidade trigonométrica e descobrir uma representação para .
Vamos lá!
Passo 2
Bom, nós temos e a identidade , que também pode ser escrita como:
Substituindo em :
Separando as componentes:
A representação da série de Maclaurin para a função cosseno, nós vimos que é:
Então, para , temos:
Substituindo em , vamos obter:
Como , temos:
E temos nossa representação em série de Maclaurin. Agora para , vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉