Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

c) ∑ n = 2 ∞ n 3 n 2 ln ⁡ n + 1 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma série e temos que determinar se essa série converge ou diverge!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema vamos usar uma propriedade fundamental para uma série convergir.

Toda série convergente é decrescente, então como temos um l n ( n ) no numerador e um polinômio de segundo grau no denominador, podemos imaginar que em um certo momento da série os termos serão crescentes...

Bora conferir isso? 😉

Passo 2

Vamos analisar cada termo da série

∑ n = 2 ∞ n 3 n 2 ln ⁡ n + 1

Para n = 2 , temos

n = 2 :   2 3 2 2 ln ⁡ 2 + 1 = 2,12

Para n = 3 ...

n = 3 :   3 3 3 2 ln ⁡ 3 + 1 ≅ 2,48

E assim por diante, temos

∑ n = 2 ∞ n 3 n 2 ln ⁡ n + 1 = 2,12 + 2,48 + 2,76 + 3,03 + 3,30 + …

Perceba que cada termo é maior que o anterior, então por isso podemos afirmar que a série diverge!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Diverge

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