Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

Ver Teoria
Exercício 81234567910111213141516171819202122232425262728293031

Enunciado

Questão 2) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n

Passo 1

Cara, observe que temos uma subtração de termos que são tipo... muuuuuito parecidos. Toda vez que isso acontece, podemos pensar em desmembrar (pois assim talvez a gente consegue cortar algumas coisas, saca?

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n =

Na primeira iteração, ou seja, n é só 2 ...

∑ n = 2 2 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = ln ⁡ ln ⁡ 3 - ln ⁡ ln ⁡ 2

Na segunda...

∑ n = 2 3 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = ln ⁡ ln ⁡ 3 - ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ 4 - ln ⁡ ln ⁡ 3 =

- ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ 4

Na terceira...

∑ n = 2 4 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = ln ⁡ ln ⁡ 3 - ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ 4 - ln ⁡ ln ⁡ 3 + ln ⁡ ln ⁡ 5 - ln ⁡ ln ⁡ 4 =

- ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ 5

Veja que os termos estão se cancelando e estão sobrando somente dois termos, sendo que 1 termo é fixo e é o - ln ⁡ ln ⁡ 2 e o segundo termo depende da quantidade de interações que fazemos. Ora se fizermos m interações...

∑ n = 2 m + 1 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = - ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ m + 2

Perceba que essa definição segue perfeitamente o desenvolvimento que fizemos, pois se fizermos 1 iteração, m = 1 e...

∑ n = 2 2 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = ln ⁡ ln ⁡ 3 - ln ⁡ ln ⁡ 2

Sacou?

Passo 2

Bem, sabemos a expressão da soma para qualquer iteração. Mas e se fizermos as iterações tenderem ao infinito? Isso nos sugere um limite:

lim m → ∞ ⁡ ∑ n = 2 2 ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = lim m → ∞ ⁡ - ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ m + 2

Calculando esse limite esquerdo...

lim m → ∞ ⁡ - ln ⁡ ln ⁡ 2 + ln ⁡ ln ⁡ m + 2 = - ln ⁡ ln ⁡ 2 + lim m → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ m + 2

Como quando m vai para o infinito o l n vai ao infinito, concluímos que...

lim m → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ m + 2 = + ∞

Então...

∑ n = 2 ∞ ln ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ ln ⁡ n = + ∞

Ou seja, a série diverge ;)

Resposta

Série Divergente por inspeção da série.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? ∑ n = 1 ∞ 1 n 3
Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ a n cujas somas parciais são dadas. s n = n 2 - 1 4 n 2 + 1
Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .63. ∑ n = 0 ∞ e n x
Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .59. ∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n
75. Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ! Calcule as somas parciais s 1 ,s 2 ,s 3 e s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .Use indução matemática pa