Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Calcule a soma da série:

∑ k = 1 ∞ 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar essa série. Para isso, vamos tentar dar uma arrumada para ver se conseguimos achar a soma parcial da série ( S n ) e depois fazer o limite dessa soma parcial quando n → ∞ , uma vez que o somatório vai para infinito.

O termo geral dela vai ser

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

Lembrando das propriedades de logaritmo, temos que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Então:

ln ⁡ k 5 k + 1 = ln ⁡ k 5 - ln ⁡ k + 1

Pela regra do “peteleco”:

ln ⁡ k 5 = 5 ln ⁡ k

Assim ficou:

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1 = 5 - k + 1 5 ln ⁡ k - ln ⁡ k + 1

a k = 5 ln ⁡ k 5 k + 1 - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

a k = ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Passo 2

Agora que demos uma arrumadinha no termo geral vamos tentar fazer a soma parcial.

S n = ∑ k = 1 n ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Abrindo isso temos

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ 2 5 2 + ln ⁡ 2 5 2 - ln ⁡ 3 5 3 + ln ⁡ 3 5 3 - ln ⁡ 4 5 4 + … + ln ⁡ n 5 n - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só o primeiro termo e o último.

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Como ln ⁡ 1 = 0 temos

S n = - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Agora que achamos a soma parcial e o somatório vai até infinito, é só fazer o seu limite quando n → ∞

Passo 3

Vamos ao limite

S = lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - ∞ ∞

Como o numerador e o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar L’Hospital:

S = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ' 5 n + 1 ' = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1

S = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1 = - 1 ∞ = 0

Curiosamente a soma dos termos da série da 0 .

Sacou? O melhor a fazer é ir com calma e tentar ver algo no termo da série, abrir ela e ver se encontra algum padrão, como fizemos nesse exercício!

Resposta

S = 0

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