Calcule a soma da série:
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar essa série. Para isso, vamos tentar dar uma arrumada para ver se conseguimos achar a soma parcial da série () e depois fazer o limite dessa soma parcial quando , uma vez que o somatório vai para infinito.
O termo geral dela vai ser
Lembrando das propriedades de logaritmo, temos que
Então:
Pela regra do “peteleco”:
Assim ficou:
Passo 2
Agora que demos uma arrumadinha no termo geral vamos tentar fazer a soma parcial.
Abrindo isso temos
Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só o primeiro termo e o último.
Como temos
Agora que achamos a soma parcial e o somatório vai até infinito, é só fazer o seu limite quando
Passo 3
Vamos ao limite
Como o numerador e o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar L’Hospital:
Curiosamente a soma dos termos da série da .
Sacou? O melhor a fazer é ir com calma e tentar ver algo no termo da série, abrir ela e ver se encontra algum padrão, como fizemos nesse exercício!