PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2
Questão 1:
Determine se cada uma das afirmações abaixo é Verdadeira ou Falsa:
- Sejam e duas séries convergentes. Então é uma série convergente.
- Sejam e duas séries convergentes, com e , para todo . Então é uma série convergente.
Passo 1
Ora, o fato de ter duas questões parecidas só que uma com mais restrições que a outra, já é um forte indício que uma vai ser verdadeiro e outra falsa, não é mesmo? Isso é um bizuzão de prova, heim! Fica ligado nisso sempre rsrs
E de fato é o que vai acontecer! A com menos detalhes (Item número 1) não vai ser verdadeira, mas a outra vai! Bora provar isso?
Passo 2
ITEM 1:
O item numero 1 simplesmente nos dá duas séries convergentes
E afirma que a série
É convergente. Assim! Sem mais e nem menos . Você, como um moleque sagaz, pela falta de restrição já está logo desconfiado que isso não se aplica a todo mundo, então você vai procurar um jeito de provar isso. Uma forma de fazer isso é encontrando um caso que quebra isso!
Por exemplo, sabemos que as séries alternadas:
Convergem pelo critério das séries alternadas (possuem termos que multiplicam o que são decrescentes e são positivos).
Mas... O produto de...
Como sempre!
ORA BOLAS! Essa série é a série p com o , logo ela é uma série divergente!
Então a alternativa é falsa! Afinal, encontramos duas séries que quebram a regra, saca?
Passo 3
ITEM 2:
Agora sim aqui nós já temos restrições. Ou seja, queremos provar a mesma coisa só que agora com e , para todo .
De acordo com o teste da comparação no limite, se temos uma série conhecida de termos positivos (pode ser a de termo ):
E uma série desconhecida que queremos conhecer melhor quanto à convergência:
Também de termos positivos (sim, pois é maior que e também o ). Então, podemos aplicar o teste da comparação no limite no qual consiste em calcular o limite de:
Se esse limite for ou infinito, então podemos garantir que a série que queremos saber segue o mesmo da série de teste (que converge no caso), saca? Calculando então o limite...
Como a série de ...
Converge. Isso significa que pelo teste da divergência, ela tem que necessariamente ter...
Então prontinho! Assim garantimos que...
E, portanto, a série segue o mesmo que a série de teste , ou seja, ela converge!
Resposta
- Falso.
- Verdadeiro.