UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 1
Seja uma série numérica. Para utilizarmos o ��critério de divergência para séries numéricas” para estudar a convergência ou divergência de , necessariamente devemos ter , para todo
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa dizendo o seguinte
“Seja uma série numérica”
Uma série numérica é a soma de uma sequência numérica! Sim, uma série nada mais é do que uma soma!
Aquele dentro do somatório é o termo geral: é uma função de que vai nos dar quais são os elementos da nossa sequência
Dizemos que uma série é convergente quando a soma dos infinitos termos vai a um valor finito
Mas como assim? Se somarmos infinitos números, a soma não vai ser infinita?
Não necessariamente...
Vou te dar um exemplo bem rapidinho. Vamos ver a série
Vamos analisar a soma parcial. Digamos que nossa série não vá até infinito, vá até o terceiro termo:
E se somarmos quatro termos? Será o que o valor vai mudar muito?
E cinco?
Cada vez que adicionarmos um termo na soma, ele será cada vez menor, então vai impactar cada vez menos na soma total
Dizemos que esse tipo de série é convergente, pois converge para um valor finito.
Passo 2
Podemos dizer pouco mais sobre essa série!
Dá uma olhada nos termos:
Percebe que o próximo termo é sempre menor do que o anterior?
Em séries assim, dizemos que é uma série monótona (o comportamento é sempre o mesmo) e mais: é decrescente!
Sempre que , então temos uma série decrescente
No nosso exemplo isso se confirma, saca só
E daí
Porque
Para qualquer valor de
Obs.: lembrando que é um número natural, ou seja, inteiro e positivo
Passo 3
E é aqui que quero voltar ao nosso problema.
A próxima afirmativa é
“Para utilizarmos o “critério de divergência para séries numéricas” para estudar a convergência ou divergência de , necessariamente devemos ter , para todo ”
Como conversamos lá no passo 1, uma série convergente é aquela em que a soma de todos os termos é um valor finito
E mais, temos que os valores dos termos vão diminuindo cada vez mais
O que o problema nos diz é que , ou seja, o termo geral tem que ser positivo, mas eu nem comentei isso! Comentei que o próximo termo deve ser menor que o anterior, ou seja, , só!
A série pode convergir então para um valor negativo, desde que ele seja um número
Assim a afirmativa é falsa!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!