Exercício 11 Verifique quais das series abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

e) ∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n + n 2 n 2 + 4

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos determinar se a série dada por ∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n + n 2 n 2 + 4 é convergente ou divergente.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para resolver esse problema vamos usar uma propriedade fundamental para uma série convergir.

Toda série convergente é decrescente, então como temos um l n ( n ) no numerador e um polinômio de segundo grau no denominador, podemos imaginar que em um certo momento da série os termos serão crescentes...

Bora conferir isso? 😉

Passo 2

Vamos analisar cada termo da série

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n + n 2 n 2 + 4

Para n = 1 , temos

n = 1 :   ln ⁡ 1 + 1 2 1 2 + 4 = 1 / 5 = 0,2

Para n = 2 ...

n = 2 :   ln ⁡ 2 + 2 2 2 2 + 4 = ln ⁡ 2 + 4 8 ≅ 0,58

E assim por diante, temos

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n + n 2 n 2 + 4 = 0,2 + 0,58 + 0,78 + 0,87 + 0,92 + 0,94 + …

Percebeu que cada termo é maior que o anterior?

Portanto, podemos dizer que a série diverge!

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Diverge

Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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