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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 14a

Exercício 14. Leonhard Euler calculou as seguintes séries:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 ,     ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0

Use estes resultados para calcular as seguintes séries:

a) ∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi dito que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0 . A partir disso, queremos determinar o resultado da série ∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A partir da série dada, podemos manipulá-la para obter as series ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 e assim obter o somatório que foi pedido...

Parece complicado? 🤔

Passo 2

Nesse caso, temos ∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 .

Podemos começar fazendo uma translação de n para n - 1 para termos apenas n 2 no denominador.

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 → ∑ n - 1 = 3 ∞ 1 n - 1 + 1 2

∑ n = 4 ∞ 1 n 2

Assim, podemos somar e subtrair os termos para n = 1,2 , 3 e assim começar com n = 1 no somatório...

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 1 1 2 - 1 2 2 - 1 3 2

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 1 - 1 4 - 1 9

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 49 36

Mas como ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 , temos

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = π 2 6 - 49 36

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = 6 π 2 - 49 36

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∑ n = 3 ∞ 1 n + 1 2 = 6 π 2 - 49 36

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