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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Exercício 41235678910111213141516171819202122232425262728293031

Enunciado

USP – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – Exercício 1

Considere a série convergente

∑ n = 1 ∞ n n 4 + n 2 + 1

Qual é a soma dessa série?

a) 2 / 5

b) 1 / 2

c) 3 / 5

d) 1

e) 3 / 7

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?

Nesse problema temos que achar o valor da soma fornecida. É fácil perceber que não se trata de uma série geométrica ou algo do tipo, então vamos ter que brincar um pouquinho com o termo dessa soma para tentar achar algum padrão.

Repare que podemos somar e subtrair n 2 no denominador para fazer uma fatoração:

n 4 + n 2 + 1 = n 4 + 2 n 2 + 1 - n 2 = n 2 + 1 2 - n 2 = n 2 + 1 + n n 2 + 1 - n

Com isso, o termo geral da série pode ser escrito como

a n = n n 4 + n 2 + 1 = n n 2 + 1 + n n 2 + 1 - n

O próximo passo é quebrar essa fração em duas. Para isso, escrevemos

A n 2 + 1 + n + B n 2 + 1 - n = A n 2 + 1 - A n + B n 2 + 1 + B n n 2 + 1 + n n 2 + 1 - n

A n 2 + 1 + n + B n 2 + 1 - n = A + B n 2 + 1 + B - A n n 2 + 1 + n n 2 + 1 - n

Para igualar essa expressão com a n , fazemos

A + B = 0 B - A = 1

Daí, tiramos

B = 1 2         e           A = - 1 2

Portanto,

a n = 1 2 ⋅ 1 n 2 + 1 - n - 1 2 ⋅ 1 n 2 + 1 + n = 1 2 b n - c n

b n = 1 n 2 + 1 - n               e               c n = 1 n 2 + 1 + n

Passo 2

Com isso, a soma pode ser escrita como

S = ∑ n = 1 ∞ n n 4 + n 2 + 1 = 1 2 ∑ n = 1 ∞ b n - c n

Ou ainda,

S = 1 2 b 1 - c 1 + b 2 - c 2 + b 3 - c 3 + …

Não parece, mas essa soma é uma soma telescópica e praticamente todos os termos vão se cancelar!

Observe que

c 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 3             e           b 2 = 1 4 + 1 - 2 = 1 3

Logo, - c 1 é cancelado por + b 2 . Será que isso repete para os demais pares? A resposta é sim! Vamos mostrar isso tomando b n + 1 :

b n + 1 = 1 n + 1 2 + 1 - n + 1 = 1 n 2 + 2 n + 1 + 1 - n - 1

b n + 1 = 1 n 2 + n + 1 = c n

Como b n + 1 = c n , todos os termos intermediários vão cancelar, restando apenas o primeiro b 1 e o último c ∞ :

S = 1 2 b 1 - c ∞

É fácil perceber que

lim n → ∞ ⁡ c n = 0

Portanto,

S = b 1 2

Usando a fórmula do b n , achamos

b 1 = 1 1 + 1 - 1 = 1

Desta forma, a soma é dada por

S = 1 2

Alternativa B 😉!

Resposta

Alternativa B.

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