Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

(Capítulo 11.3 – Exercício 38) Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 5   com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Oi oiii galeraaa!

Ó, se liga. Temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 n 5

E a gente quer calcular essa soma, apenas

Tipo, é como se a gente estivesse fazendo isso aqui:

1 1 5 + 1 2 5 + 1 3 5 + …

Mas tem um porém: o enunciado informa “precisão de três casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo x , x x x , com 3 casas decimais

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que

R n ≤ 0,0005

Ou seja, um erro de, no máximo, 0,0005

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R n .

Passo 2

Já sabemos que

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t 1 x 5 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 4 t 4 - - 1 4 n 4 = 1 4 n 4

Ou seja

R n ≤ 1 4 n 4

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,0005 . Logo,

R n ≤ 1 4 n 4   e   R n ≤ 0,0005 ∴ 1 4 n 4 ≤ 0,0005 ↔ n 4 ≥ 500 ↔ n ≥ 4,7

Passo 3

Como o valor de n precisa ser um número inteiro, usaremos n = 5 . Portanto, a nossa aproximação será:

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ≈ s 5 = 1 1 5 + 1 2 5 + 1 3 5 + 1 4 5 + 1 5 5 = 1.037

E é isssooooo

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ≈ 1.037

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