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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 14d

Exercício 14. Leonhard Euler calculou as seguintes séries:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 ,     ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9

Use estes resultados para calcular as seguintes séries:

d) ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão foi dito que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 . A partir disso, queremos determinar o resultado da série ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A partir da série dada, podemos manipulá-la para obter as series ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 e ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 e assim obter o somatório que foi pedido...

Parece complicado? 🤔

Passo 2

Podemos começar separando o somatório em duas partes

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4 = ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 9 n 4

Dessa forma temos mais facilidade para manipular cada somatório separadamente...

Começando por ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 , podemos fazer uma translação de n para n + 1 para obtermos apenas n 2 no denominador...

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 → ∑ n + 1 = 2 ∞ 1 n + 1 - 1 2

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Como foi dito que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 , então

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 = π 2 6

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos olhar para o termo ∑ n = 2 ∞ 9 n 4 resolvendo o expoente...

∑ n = 2 ∞ 9 n 4 = ∑ n = 2 ∞ 9 4 n 4 = 9 4 ∑ n = 2 ∞ 1 n 4

Como nesse caso nosso n começa em 2 no somatório podemos incluir n = 1 e subtrai-lo ao mesmo tempo

∑ n = 2 ∞ 9 n 4 = 9 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 - 1 1 4

∑ n = 2 ∞ 9 n 4 = 9 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 - 1

Mas como ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 9 0 , temos

∑ n = 2 ∞ 9 n 4 = 9 4 π 4 90 - 1

∑ n = 2 ∞ 9 n 4 = 9 4 π 4 - 90 90

Voltando ao somatório principal, temos

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4 = ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 9 n 4

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4 = π 2 6 + 9 4 π 4 - 90 90

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 2 + 9 n 4 = π 2 6 + 9 4 π 4 - 90 90

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