Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

a) Calcule o valor da soma abaixo:

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 + 2 4 n

Passo 1

a)

Para achar essa soma temos que tentar achar a soma parcial dessa série e depois achar o seu limite.

Vamos começar separando essa série em duas partes, isso porque um dos termos desse somatório é uma série geométrica que sabemos o valor da série.

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 + 2 4 n = ∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 + ∑ n = 1 ∞ 2 4 n

Passo 2

Vamos começar fazendo a soma da série geométrica, vamos usar a lógica que usamos na teoria, vamos achar S n

S N = ∑ n = 1 N 2 4 n = 2 4 + 2 4 2 + 2 4 3 + … + 2 4 N

Multiplicando isso pela razão

4 S N = 2 + 2 4 + 2 4 2 + … + 2 4 N - 1

Subtraindo

4 S N - S N = 2 + 2 4 + 2 4 2 + … + 2 4 N - 1 - 2 4 + 2 4 2 + 2 4 3 + … + 2 4 N

3 S N = 2 - 2 4 N

S N = 2 3 - 2 3 ∙ 4 N

Agora precisamos achar o limite dessa soma

lim N → ∞ ⁡ S N = lim N → ∞ ⁡ 2 3 - 2 3 ∙ 4 N = 2 3

Passo 3

Vamos agora para a outra parte da série,

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3

Vamos usar a mesma técnica, achando S N primeiro e depois fazendo o limite quando N → ∞

S N = ∑ n = 1 N 4 n + 2 - 4 n + 3 = ∑ n = 1 N 4 n + 2 - ∑ n = 1 N 4 n + 3

S N = 4 3 + 4 4 + 4 5 + … + 4 N + 4 N + 1 + 4 N + 2 - 4 4 - 4 5 - 4 6 - … - 4 N - 4 N + 1 - 4 N + 2 - 4 N + 3

Podemos cancelar os termos com denominador indo de 4 à N + 2 , assim a nossa soma vai ficar

S N = 4 3 - 4 N + 3

E vamos achar agora seu limite

lim N → ∞ ⁡ S N = lim N → ∞ ⁡ 4 3 - 4 N + 3 = 4 3

Passo 4

Vamos agora Juntar as duas somas

∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 + 2 4 n = ∑ n = 1 ∞ 4 n + 2 - 4 n + 3 + ∑ n = 1 ∞ 2 4 n = 4 3 + 2 3 = 6 3 = 2

Resposta

2

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