Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações sobre as séries (A): ∑ n = 1   ∞ a n e (B): ∑ n = 1 ∞ b n .

(I) Considere que 0 < a n < b n . Se a série (B) converge, então a série (A) converge.

(II) Considere que 0 < a n < b n . Se a série (B) converge, então a série (A) diverge.

(III) Considere que 0 < a n < b n . Se a série (B) diverge, então a série (A) diverge.

(IV) Considere que 0 < a n < b n . Se a série (B) diverge, então a série (A) converge.

É correto afirma:

a. Existem exatamente duas afirmações verdadeiras.

b. Apenas a afirmação II é verdadeira

c. Apenas a afirmação III é verdadeira

d. Apenas a afirmação I é verdadeira

e. Todas as afirmações são falsas

f. Todas as afirmações são verdadeiras

g. Apenas a afirmação IV é verdadeira

h. Existem exatamente três afirmações verdadeiras.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu duas séries:

∑ n = 1   ∞ a n           e             ∑ n = 1 ∞ b n

E pediu pra gente verificar se elas convergem ou divergem, sabendo que 0 < a n < b n . Mas como a gente faz isso?

Vamos pensar sobre a condição que ele nos deu, 0 < a n < b n . O que ele quer dizer com isso?

Quer dizer que tanto a n quanto b n possuem termos positivos, e mais, que os termos que b n são sempre maiores que a n . Então pra saber qual série converge ou diverge, nós precisamos comparar as duas. Qual o teste que nos possibilita fazer isso?

O teste da comparação, como o próprio nome já diz rs. Então vamos lá!

Passo 2

O teste da comparação nos diz que se a n e b n são ambas séries com termos positivos e a n ≤ b n para todo n > N , então:

- Se ∑ b n converge, então ∑ a n converge

- Se ∑ a n diverge, então ∑ b n diverge.

E qual é a única afirmação que apresenta uma dessas relações? Isso mesmo, a afirmação I:

(I) Considere que 0 < a n < b n . Se a série (B) converge, então a série (A) converge.

Então podemos marcar d):

d. Apenas a afirmação I é verdadeira

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

d .   A p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I   é   v e r d a d e i r a

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