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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Enunciado

Calcule a soma da série abaixo

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n + 2 - 1 ln ⁡ n + 1

Passo 1

Vamos começar tentando fazer a soma parcial dessa série.

S n = ∑ k = 1 n 1 ln ⁡ k + 2 - 1 ln ⁡ k + 1

Abrindo isso temos

S n = 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 4 - 1 ln ⁡ 3 + 1 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 4 + … + 1 ln ⁡ n + 1 - 1 ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 2 - 1 ln ⁡ n + 1

Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só

S n = - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ n + 2

Agora que achamos a soma parcial é só fazer o seu limite quando n → ∞

Passo 2

Vamos ao limite

S = lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ n + 2 = - 1 ln ⁡ 2 + 1 ∞ = - 1 ln ⁡ 2 + 0 = - 1 ln ⁡ 2

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n + 2 - 1 ln ⁡ n + 1 = - 1 ln ⁡ 2

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