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Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

3)a - Resolva a equação x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0 , x > 0 .

b - Determine uma solução particular da equação x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 1 x 2 , x > 0 .

Sugestão: a equação de Euler pode ser reduzida a uma EDO com coeficientes constantes através da substituição x = e z .

Passo 1

Letra a:

Ouvi dizer em equação de Euler???

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

Então a solução é essa daqui, óh:

y = x r

Agora é só procurar r , bora?

Passo 2

Primeiro calculando as derivadas...

y ' = r x r - 1

y ' ' = r r - 1 x r - 2

Agora é só substituir mesmo:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0 →

x 2 r r - 1 x r - 2 + 5 x r x r - 1 + 4 x r = 0 →

r r - 1 x r - 2 + 2 + 5 r x r - 1 + 1 + 4 x r = 0   →

r r - 1 x r + 5 r x r + 4 x r = 0   →

r r - 1 x r + 5 r x r + 4 x r = 0   →

x r r r - 1 + 5 r + 4 = 0

Como x r estamos colocando diferente de 0 , quem está no colchetes deve ser para satisfazer a igualdade...

r r - 1 + 5 r + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação em r ...

r 2 - r + 5 r + 4 = 0 →

r 2 + 4 r + 4 = 0 →

r 1 = - 2     e     r 2 = - 2

Como r 1 = r 2 = - 2 , estamos no caso de ∆ = 0 e portanto uma das respostas da nossa EDO é:

y 1 = x r 1 = x - 2

A outra será colocando um ln ⁡ x na frente

y 2 = ln ⁡ x x - r 2 = ln ⁡ x x - 2

E a resposta completa é a combinação das duas:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2     →

y = c 1 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2

Passo 4

Letra b:

Pois bem, agora que temos duas soluções linearmente independentes para a homogênea, podemos resolver a não homogênea pelo método Variação de Parâmetros, se lembra dele? Ora, a solução será essa daqui, oh:

y = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde...

f 1 = ∫ y 2 B x M d x

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x

M = det ⁡ y 1 ' y 2 ' y 1 y 2  

E o B x é o que torna na nossa EDO não homogênea:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 1 x 2

y ' ' + 5 x y ' + 4 x 2 y = 1 x 4

Ou seja...

B x = 1 x 4

Bora pros cálculos então?

Passo 5

Primeiro, calculemos o M ...

M = det ⁡ y 1 ' y 2 ' y 1 y 2   →

M = det ⁡ - 2 x - 3 1 x x - 2 - 2 ln ⁡ x x - 3 x - 2 ln ⁡ x x - 2   →

M = det ⁡ - 2 x - 3 x - 3 - 2 ln ⁡ x x - 3 x - 2 ln ⁡ x x - 2   →

Ora, o determinante de matrizes dois por dois a gente conhece:

M = - 2 x - 3 ln ⁡ x x - 2 - x - 3 - 2 ln ⁡ x x - 3 x - 2   →

M = - 2 x - 5 ln ⁡ x - x - 5 - 2 ln ⁡ x x - 5   →

M = - 2 x - 5 ln ⁡ x - x - 5 + 2 ln ⁡ x x - 5   →

M = - x - 5

Passo 6

Show! Acho que já podemos calcular quem é esse:

f 1 = ∫ y 2 B x M d x   →

f 1 = ∫ ln ⁡ x x - 2 1 x 4 - x - 5 d x   →

f 1 = ∫ - ln ⁡ x x - 6 x - 5 d x   →

f 1 = ∫ - ln ⁡ x x - 6 ⋅ x 5 ⋅ d x   →

f 1 = - ∫ ln ⁡ x x d x   →

Essa integral aqui se resolve por substituição:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

∫ u d u = u 2 2 + c 1 = ln ⁡ x 2 2 + c 1

Então...

f 1 = - ∫ x ln ⁡ x d x = - ln ⁡ x 2 2 + c 1 =

- ln ⁡ x 2 2 + c 1

Passo 7

Para encontrar f 2 calculemos a outra integral de Variação separável que conhecemos lá da Teoria:

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x   →

f 2 = ∫ - x - 2 1 x 4 - x - 5 d x   →

f 2 = ∫ x - 6 x - 5 d x   →

f 2 = ∫ d x x =

ln ⁡ x + c 2

Passo 8

Beleza! Com essas duas funções encontradas, podemos substituir na equação da solução:

y = f 1 y 1 + f 2 y 2   →

y = - ln ⁡ x 2 2 + c 1 x - 2 + ln ⁡ x + c 2 ln ⁡ x x - 2   →

“Arrumando a casa” multiplicando esses caras...

y = - ln ⁡ x 2 2 x - 2 + c 1 x - 2 + ln ⁡ x 2 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2   →

y = ln ⁡ x 2 2 x - 2 + c 1 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2

Podemos ainda deixar a solução da homogênea de um lado (em negrito) e a da particular será o que sobrar:

y = c 1 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2 + ln ⁡ x 2 2 x - 2

Resposta

Letra a:

y = c 1 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2

Letra b:

y = c 1 x - 2 + c 2 ln ⁡ x x - 2 + ln ⁡ x 2 2 x - 2

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