Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,
Resolva a equação diferencial não homogênea.
Passo 1
Falaaa, como vai? Vamos resolver essa EDO. A solução dela tem essa cara:
Onde é a solução da EDO homogênea corresponde a nossa EDO:
A gente a resolve pela equação característica:
As raízes dessa equação são complexas e tem essa carinha:
A gente compara isso com
Aí temos
Como nossas raízes são complexas, nossa solução da EDO homogênea vai ter essa forma:
Então essa é a nossa solução homogênea. Falta achar a particular. Vem comigo!
Passo 2
Repara ali no lado direito da nossa equação:
A gente não tem só um exponencial, ou um polinômio ou um seno/cosseno, ou uma soma ou produto entre essas funções, por isso vamos precisar usar o método de variação dos parâmetros para achar .
Ele serve para encontrar quando temos essas funções mais complexas. E como ele funciona?
A gente começa considerando que a nossa solução particular é bem parecida com a homogênea que a gente achou:
Mas para a particular, no lugar das constantes , teremos funções, assim:
Vamos dizer que e . Aí a ideia é achar e , belezinha?
Passo 3
Cara, vamos começar achando . Quem? Calma, tem uma fórmulinha para ele:
Substituindo nossas coisinhas:
Aí nosso fica:
Passo 4
Aí a gente usa essas fórmulinhas para achar e :
Onde é aquela função do lado direito da nossa equação .
Aí a gente faz:
A gente resolve essa fazendo a substituição :
Passo 5
Aí a nossa solução particular fica assim:
E a solução geral fica: