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Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Questão 2: Considere a equação diferencial de segunda ordem. Homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

  1. Resolva a equação diferencial não homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 4 e x sec ⁡ 2 x

Passo 1

Podemos resolver tal EDO fazendo primeiro a parte homogênea e em seguida a parte particular. O resultado final será...

y x = y h + y p

Vamos então começar pela homogênea...

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

Por comparação, a característica é...

r 2 - 2 r + 5 = 0     →

r = 2 ± 4 - 20 2 = 2 ± 4 - 1 2 =

1 ± 2 i

OPA! Resultado imaginário r = a ± b i , logo precisamos de uma solução dessa forma aqui:

y h x = e a x C 1 sin ⁡ b x + C 2 cos ⁡ b x   →

y h x = C 1 e x sin ⁡ 2 x + C 2 e x cos ⁡ 2 x

Passo 2

Para encontrar a solução particular, por estarmos trabalhando com sec ⁡ 2 x , talvez seja mais prático resolvermos por variação de parâmetro e para isso, vamos considerar as soluções fundamentas da homogênea...

y 1 = e x sin ⁡ 2 x       e         y 2 = e x cos ⁡ 2 x

Assim, podemos falar que a solução particular é...

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde...

f 1 = ∫ y 2 x B x W   d x

f 2 = ∫ - y 1 x B x W   d x

Onde B x = 4 e x sec ⁡ 2 x é a função que causa a não homogeneidade da EDO enquanto o W é o Wronskiano:

W = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2     →

W = e x sin ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sin ⁡ 2 x e x sin ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x   →

W = e x cos ⁡ 2 x e x sin ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x - e x sin ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sin ⁡ 2 x   →

W = e 2 x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x + 2 e 2 x cos 2 ⁡ 2 x - e 2 x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x - 2 e 2 x sin 2 ⁡ 2 x   →

W = 2 e 2 x sin 2 ⁡ 2 x - - 2 e 2 x cos 2 ⁡ 2 x   →

W = 2 e 2 x sin 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x

sin 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x = 1

W = 2 e 2 x

Logo...

f 1 = ∫ y 2 x B x W   d x = ∫ e x cos ⁡ 2 x 4 e x sec ⁡ 2 x 2 e 2 x   d x   →

f 1 = ∫ 4 e 2 x cos ⁡ 2 x 1 cos ⁡ 2 x 2 e 2 x   d x = ∫ 2   d x   →

f 1 = 2 x

Fazendo o mesmo para encontrar o f 2 ...

f 2 = ∫ - e x sin ⁡ 2 x 4 e x sec ⁡ 2 x   2 e 2 x   d x = - ∫ 4 e 2 x sin ⁡ 2 x 1 cos ⁡ 2 x   2 e 2 x   d x     →

f 2 = - 2 ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x   d x = ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Então...

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2     →

y p = 2 x e x sin ⁡ 2 x + ln ⁡ cos ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x

y p = 2 x e x sin ⁡ 2 x + e 2 x cos ⁡ 2 x ln ⁡ cos ⁡ 2 x

A solução geral então será...

y x = y h + y p   →

y x = C 1 e x sin ⁡ 2 x + C 2 e x cos ⁡ 2 x + 2 x e x sin ⁡ 2 x + e 2 x cos ⁡ 2 x ln ⁡ cos ⁡ 2 x  

Resposta

y x = C 1 e x sin ⁡ 2 x + C 2 e x cos ⁡ 2 x + 2 x e x sin ⁡ 2 x + e 2 x cos ⁡ 2 x ln ⁡ cos ⁡ 2 x  

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