EDO de 2ª ordem não homogênea, Método da variação dos parâmetros(Lagrange)
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Para resolver essa equação de grau é tranquilinho né?
Vamos começar achando
Agora vamos achar as raízes
Passo 3
Agora que temos a raiz e vimos que é o caso de raiz única a solução vai ser
Trocando o valor de
Passo 4
Agora temos que achar a solução da EDO
Lembrando que a solução vai ser
Onde é a solução da homogênea associada e é a solução da particular.
A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, isso porque aquela função do lado direito não é do tipo de nenhuma daquelas que usamos no coeficientes a determinar.
Já temos e da homogênea, que vão ser
Temos que achar
Onde
E
Onde é aquela função do lado direito da EDO, e vai ser
Vamos achar aqui rapidinho e porque vamos usar para achar e
E
Passo 5
Vamos começar achando
Vamos ter
Passo 6
Vamos resolver essa integral
Vamos fazer substituição, isso porque a derivada do de baixo vai dar quase o cada de cima na fração.
E vamos ter
Essa integral vai ficar
Voltando para vamos ter
Como aquele cara dentro do log vai ser sempre positivo temos
Passo 7
A nossa função vai ser
Vamos agora a
Então
Passo 8
Vamos resolver essa integral
Aqui vamos usar substituição trigonométrica, como temos vamos fazer
Assim
Substituindo na integral
Lembrando que
Assim vamos ter
Como
Vamos ter
Passo 9
Assim vamos ter
A nossa solução particular vai ser
E a solução geral vai ser