EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis, Método da variação dos parâmetros(Lagrange)
Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Fala galera! Olha pra cara dessa EDO, vemos que o grau das derivadas coincide com o grau dos polinômios que multiplicam elas, então a parte homogênea desse cara é uma EDO de Euler! E é exatamente da solução da homogênea que vamos começar!
Vimos que para resolver esse rapazola bastava substituir
Derivando:
Substituindo:
Organizando:
Opa, raízes iguais, então a solução da homogênea associada é dada por:
Passo 2
Bem bem, resolvemos a homogênea, agora temos que resolver a particular para achar a solução geral, então a EDO tem essa cara:
O melhor a fazer com esses coeficientes variáveis é chamar o tio Lagrange e usar o método da variação dos parâmetros!
Lembra como resolve?! Primeiro deixamos com a cara :
Então dividimos tudo por :
Passo 3
Já temos a solução da homogênea, então a solução da particular fica:
Agora devemos calcular e , para isso calculamos o determinante antes:
Ok, agora vamos calcular:
Como resolver esse paranauê? Substitua , assim na integral fica:
Assim ficou:
E por fim vamos calcular:
Fazendo a mesma substituição :
A solução particular fica:
Passo 4
Assim a solução geral é:
Substituindo:
E fechamos!