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Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

  1. Encontre a solução da equação diferencial

    2. y ' ' - 2 y ' + y = 0

  2. Encontre a solução da equação diferencial

y ' ' - 2 y ' + y = x e x

Passo 1

a)

Nesse caso temos uma simples EDO de 2 ordem com coeficientes constantes homogênea e já sabemos bem o passo a passo para resolver.

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' x + c y x = 0 1 y ' ' - 2 y ' + 1 y = 0

Logo:

a = 1 b = 2 c = 1

Passo 2

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 2 2 - 4 1 ( 1 )

⇒ Δ = 0

Passo 3

Encontrar raízes da equação auxiliar:

r 2 - 2 r + 1 = 0

r = 1

Passo 4

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo o valor de r :

y x = c 1 e x + c 2 x e x

Passo 5

b)

Para resolvermos esse item temos que encontrar a solução da homogênea associada e a solução particular. A nossa solução homogênea é a mesma da solução do item a então só precisamos encontrar uma solução particular.

Como temos temos uma função que é a multiplicação de uma raiz por um exponencial, a ideia será utilizar variação de parâmetros.

Passo 6

A solução particular terá o seguinte formato.

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Onde .

y 1 = e x

y 2 = x e x

f 1 ' x = y 2 . x e x M

f 2 ' x = - y 1 . x e x M

E M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

Passo 7

Vamos primeiro calcular M .

y 1 ' = e x

y 2 ' = e x + x e x

Assim teremos.

M = e x x e x - e x + x e x e x = - e 2 x

Passo 8

Calculando f 1

f 1 ' = x e x . x e x - e 2 x = - x 3 2

Resolvendo essa simples integral.

f 1 = - 2 5 x 5 2

Passo 9

Calculando f 2

f 2 ' x = - e x . x e x - e 2 x = x

f 2 = 2 3 x 3 2  

Passo 10

Assim a nossa solução particular será.

y p = - 2 5 x 5 2 e x + 2 3 x 3 2 x e x = - 2 5 x 5 2 e x + 2 3 x 5 2 e x = 4 15 x 5 2 e x

E a nossa solução geral será.

y = c 1 e x + c 2 x e x + 4 15 x 5 2 e x

Resposta

  1. y x = c 1 e x + c 2 x e x
  2. y = c 1 e x + c 2 x e x + 4 15 x 5 2 e x

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