(a) Determine a solução geral da equação

(b) Determine a solução do problema de valor inicial

Bom, agora a gente já sabe qual é a solução homogênea. Partiu descobrir a solução particular?

Vamos dar uma olhada na . Quando aparece tangente, a gente logo busca a solução particular com o Método da Variação de Parâmetros.Eitaaa, mas como fica isso?

Primeiro, vamos considerar a soluções fundamentais da homogênea...

e

E aí, a solução particular vai ficar com essa carinha:

Onde...

Na nossa equção, o que é a função que causa a não homogeneidade da função, ou seja, que não deixa a EDO ser igual a zero, vale:

Já o Wronskiano, chamado apenas de para os íntimos, vale:

Como , então vamos ter:

Agora que a gente já sabe o nosso amigo , vamos calcular e :

Ficamos com:

Já a vai ficar:

Então, a solução particular vai ficar:

Prontinho, descobrimos a solução homogênea e a solução particular. Agora é só somar as duas para descobrirmos a solução geral.

Item (a) resolvido, agora vamos ao item (b).

No item (b), o problema quer que a gente ache a solução do valor inicial:

Bom, a gente já sabe como é a nossa função , então vamos ver como ela vai ficar nessas condições. Vamos começar com a segunda? Porque a gente não precisa derivar nada, é só substituir o por zero. Aí vai ficar assim:

Como:

O que vai restar na nossa expressão é:

Então,

Beleza, agora já sabemos que a constante , vamos usar a segunda condição. Para isso, vamos precisar derivar

Então, substituindo essa derivada na primeira condição, teremos:

Agora, poderemos isolar

Ufa!!Finalmente, aplicando o valor inicial a solução ficará:

Onde: