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Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Considere a equação diferencial:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 4 ,           x > 0

( a ) Mostre que y 1 = x ² e y 2 = x 2 l n x são soluções linearmente independentes calculando o Wronskiano.

b Dado que y 1 e y 2 de ( a ) são soluções da equação homogênea associada, utilize o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação diferencial.

Passo 1

Na letra ( a ) , temos que calcular o Wronskiano, que tem a seguinte fórmula:

W = y 2 ' y 1 - y 2 y 1 '

y 1 = x 2 → y 1 ' = 2 x

y 2 = x 2 l n x → y 2 ' = 2 x l n x + x

W = 2 x l n x + x x 2 - x 2 l n x 2 x = x 3 ≠ 0 , ∀ x > 0

Logo, como W ≠ 0 , as soluções são independentes.

Passo 2

Show! O enunciado já te diz quem são y 1 e y 2 . Logo, só precisamos descobrir a solução particular, dado que ela tem essa cara:

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Antes disso, temos que deixar nossa EDO da seguinte forma:

y ' ' - 3 x y ' + 4 x 2 y = x 2

Sabendo que f 1 e f 2 são funções de x , que B x = x 2 e M = - W , basta aplicar as fórmulas:

f 1 = ∫ y 2 B x M d x = ∫ x 2 l n x x 2 - x 3 d x = - ∫ x l n x d x

Eita! Essa última integral tá meio esquisita né? Vamos fazer uma integração por partes. Assumindo:

u = l n x   → d u = 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

- ∫ x l n x d x = - x 2 2 l n x + ∫ x 2 2 1 x d x = - x 2 2 l n x + ∫ x 2 d x = - x 2 2 l n x + x 2 4

Ufa! Voltando...

f 2 = - ∫ y 1 B x M d x = - ∫ x 2 x 2 - x 3 d x = ∫ x d x = x 2 2

Passo 3

Já encontramos f 1 e f 2 , agora só temos que substituir em y p e partir pro abraço!

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = - x 2 2 l n x + x 2 4 x 2 + x 2 2 x 2 l n x = x 4 4

Resposta

y p = x 4 4

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