Sabendo-se que formam um conjunto fundamental de soluções para em , encontre a solução geral para:
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Passo 2
Seguindo exatamente esses passos temos:
Colocando a equação na forma: )
Temos:
Passo 3
O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então:
Passo 4
A solução particular será:
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Calculando temos:
Passo 7
Calculando:
Temos:
Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:
Substituindo na integral temos:
Calculando :
Vamos fazer uma substituição simples:
Substituindo:
Logo:
Passo 8
Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então:
Resposta
Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros
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Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros.y'' - y' = e^x
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x 3
Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.t^2 * y'' - 2 * t * y' + 2 * y = 4 * t^2, t0; y_1(t) = t
Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.(1 - t) * y'' + t * y' - y = 2 * (t - 1)^2 * e^(-t), 0t1; y1(t) = e^t (veja o P