Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Aqui convêm separar nossa equação na parte homogênea e particular . Assim, a solução será dada por:
Sendo a EDO homogênea associada:
Passo 2
Vamos então resolver a parte homogênea. Pela equação característica, temos:
Logo:
Assim, como temos raízes imaginárias, a solução será da forma:
Passo 3
OK, a solução homogênea já foi. Vamos agora para a solução particular.
Como a parte não-homogênea não é uma função convencional, como um polinômio, uma exponencial, senos ou cossenos, então não podemos simplesmente chutar o valor e testar.
Então, neste caso então usaremos o método da variação dos parâmetros. Para tal, consideramos a forma geral da EDO de segunda ordem:
E então temos:
Sendo:
Comparando com o que temos para a EDO:
Para a solução homogênea:
OK. Para determinar , vamos achar as derivadas:
Agora:
Agora, podemos encontrar :
Como :
Sem a constante mesmo. Seguindo a mesma ideia, temos:
Temos aqui a função e sua derivada aparecendo. Então, podemos fazer a substituição:
Ou seja, nossa solução particular será:
Passo 4
Temos nossa solução homogênea e temos nossa solução, particular. Assim, podemos montar nossa solução geral:
E essa será nossa solução final.