Encontre a solução geral da equação linear não homogênea abaixo
sabendo que a solução geral da equação homogênea associada é
Passo 1
Bem, o enunciado já deu para gente a solução homogênea e a a solução geral vai ser dada por
Em que é a solução particular. Nosso trabalho aqui será determinar essa solução particular aí. Bem, a parte não homogênea não é da forma convencional com uma função exponencial, polinomial ou trigonométrica.
Portanto, para resolver, precisaremos usar o método da variação de parâmetros. Para solução homogênea
Vamos ter:
Com
Sendo a parte não homogênea e o determinante:
Passo 2
Vamos então calcular tudo isso. Começamos com:
Passo 3
Agora, vamos para :
Para calcular essa integral, vamos ter que usar a integração por partes:
Então vai ficar:
Passo 4
Vamos agora para :
Para essa integral, usamos a integral por partes também:
Beleza, então:
Passo 5
Quase lá, hein! Substituímos agora:
Vamos melhorar isso aí:
Assim, a solução final vai ser:
E é isso. 😊