Dada a equação diferencial de segunda ordem ,
- Usando o método dos coeficientes a determinar resolva o problema de valor inicial
- Resolva a equação diferencial
Passo 1
Show, vamos primeiro resolver o problema de valor inicial da letra (a). A solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:
Começamos com a parte homogênea:
Temos aqui a equação característica:
Como a raiz deu imaginária, teremos uma solução na forma de senos e cossenos:
Agora vamos para a solução particular. Como a parte não homogênea é , buscamos uma solução na forma:
Em que aparece para não bater com a solução homogênea. Para achar as constantes, vamos substituir na equação:
Para isso, precisamos da segunda derivada. Vamos calculá-la:
Agora substituímos na EDO:
Comparamos, vemos que:
Assim, nossa solução particular vai ser:
Como a solução será a soma das duas:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes restantes:
Legal. Achamos . Para aplicar a outra condição, derivamos:
Show, achamos todas as constantes:
E é isso!
Passo 2
Agora vamos para o problema:
Novamente, a solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:
A solução homogênea já foi encontrada no item anterior:
Que está na forma:
Agora, quanto a solução particular, como não temos parte não homogênea
Não dá para chutarmos uma solução e encontrar os coeficientes, teremos que usar o método da variação de parâmetros em que
Sendo:
Com:
Assim, vamos calcular cada uma das coisas. Começamos com :
Portanto:
Para essa integral, fazemos a substituição:
Logo, teremos:
Sem constante neste caso, ok? Seguindo:
Show. Então, nossa solução particular será:
Ou seja, como temos:
Nossa solução final será:
E é isso. 😊