Obtenha a solução geral da EDO:
Passo 1
O que a gente tem nessa questão é uma EDO de ordem não homogênea, sabe o porquê? Bom, a maior derivada envolvida é a de ordem e a ela é não homogênea porque está igualada a uma função de .
Porém, amigx, essa função de é bem diferente daquelas que sabemos resolver. Nesta questão, teremos que usar o método da variação de parâmetros. Mas daqui a pouco a gente pensa nisso.
Vamos resolver primeiro a EDO homogênea associada.
Passo 2
A EDO homogênea associada será:
Logo, o polinômio característico será:
Como o , nossa raiz tem multiplicidade e nossa solução da homogênea será:
Passo 3
Show, agora vamos nos concentrar em encontrar a solução particular. Como iremos utilizar o Método da Variação dos Parâmetros, essa solução vai ser da forma:
Sabendo que e são funções de , você lembra como as encontramos? Vamos chamar , e . Dá uma olhada na fórmula:
Então, se e . Daí, segue que:
Passo 4
Agora que já sabemos e , sabemos que nossa particular vai ser:
Passo 5
AEEEEE! Só falta agora a solução geral, que é da forma: