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Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Questão 1: Sabendo que y 1 = e 7 x e y 2 = x e 7 x são soluções da equação linear homogênea,

y ' ' - 14 y ' + 49 y = 0

Encontre a solução geral da equação diferencial não homogênea

y ' ' - 14 y ' + 49 y = e 7 x ln ⁡ x ,   x > 0 .

Passo 1

Pow! O nosso problema já nos deu duas soluções ali da homogênea. Que ótimo, neh? Mas quem muito dá esmola, o santo desconfia, não é mesmo? Então será que elas são Linearmente independentes para formar um conjunto solução da homogênea? Vamos verificar!

Bem, para verificar, apliquemos o Wronskiano:

W y 1 ,   y 2 = det ⁡ y 1 y 2 y 1 ' y 2 '   →

Logo, simplesmente substituindo-as e derivando...

W e 7 x ,   x e 7 x = det ⁡ e 7 x x e 7 x 7 e 7 x e 7 x + 7 x e 7 x   →

W e 7 x ,   x e 7 x = e 7 x e 7 x + 7 x e 7 x - 7 x e 7 x e 7 x   →

Lembrando que e 7 x e 7 x = e 14 x ...

W e 7 x ,   x e 7 x = e 7 x + 7 x + 7 x e 7 x + 7 x - 7 x e 7 x + 7 x   →

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x + 7 x e 14 x - 7 x e 14 x   →

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x →

Como exponencial é diferente de 0 sempre...

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x ≠ 0

Concluímos que de fato trata-se de soluções linearmente independentes e, portanto, a combinação linear delas forma a minha solução da homogênea:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2   →

y h = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x

Passo 2

Para a solução geral da não homogênea, temos que ter a solução particular e depois soma-la a solução da homogênea:

y = y h + y p

Ou, podemos calcula-la direto através do método de variação de parâmetro que vai nos dar tanto a particular quanto a homogênea já somada, saca?

y = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Pelo método de variação de parâmetros...

f 1 x = ∫ y 2 ⋅ B x M d x

f 2 x = ∫ - y 1 ⋅ B x M d x

Onde...

M = det ⁡ y 1 ' y 2 ' y 1 y 2   →

Ou, no caso 2 × 2 ...

M = - W y 1 ,   y 2

B é a função que torna a EDO não homogênea, ou seja:

y ' ' - 14 y ' + 49 y = e 7 x ln ⁡ x   →

B x = e 7 x ln ⁡ x

Bora calcular então?

Passo 3

Vamos começar pelo M ...

M = - W = - e 14 x

f 1 x = ∫ y 2 ⋅ B x M d x   →

Substituindo tudo aí no f 1 ...

f 1 x = ∫ x e 7 x ⋅ e 7 x ln ⁡ x - e 14 x d x   →

f 1 x = - ∫ x e 14 x ln ⁡ x e 14 x d x   →

f 1 x = - ∫ x ln ⁡ x d x   →

Aqui vamos precisar de uma integração por partes:

u = ln ⁡ x                       e                           d v = x d x

d u = 1 x d x                       e                           v = x 2 2

Resolvendo então...

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 ⋅ 1 x d x   →

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ∫ x d x   →

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ⋅ x 2 2   →

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4

Substituindo esse resultado na f 1 ...

f 1 x = - ∫ x ln ⁡ x d x = - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4 + c 1

c 1 é a constante de integração!

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa agora para encontrar f 2 :

f 2 x = ∫ - y 1 ⋅ B x M d x   →

f 2 x = ∫ - e 7 x ⋅ e 7 x ln ⁡ x - e 14 x d x   →

f 2 x = ∫ e 14 x ln ⁡ x e 14 x d x   →

f 2 x = ∫ ln ⁡ x d x   →

u = ln ⁡ x                       e                           d v = d x

d u = 1 x d x                       e                           v = x

f 2 x = ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x →

f 2 x = ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x →

f 2 x = ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x + c 2

Passo 5

A solução geral então será:

y = f 1 x y 1 + f 2 x y 2   →

y = - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4 + c 1 e 7 x + x ln ⁡ x - x + c 2 x e 7 x →

Podemos eliminar esses colchetes aí...

y = - x 2 2 e 7 x ln ⁡ x + e 7 x x 2 4 + c 1 e 7 x + x 2 e 7 x ln ⁡ x - x 2 e 7 x + c 2 x e 7 x →

E agora dar uma “arrumada” na casa colocando esse x 2 e 7 x em evidência:

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x - 1 2 ln ⁡ x + 1 4 + ln ⁡ x - 1 →

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x 1 2 ln ⁡ x - 3 4

Veja que nessa geral, conseguimos ver a parte homogênea e a particular somadas, como eu lhe disse!

Resposta

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x 1 2 ln ⁡ x - 3 4

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