Método da variação dos parâmetros(Lagrange)
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem, com não da pra usar coeficientes a determinar com um do outro lado, então vamos pra variação dos parâmetros!
A primeira coisa se fazer é determinar a solução da homogênea:
Indo para a equação característica:
Assim temos as raízes:
Raiz dupla! Então a solução é:
Passo 2
Pela teoria de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Que fica:
Então vamos calular :
Podemos desenhar a matriz para facilitar a memória:
Daí temos que:
Onde
(Você pode usar a chamada regra de Kramer para resolver isso, eu só multiplico pelo inverso mesmo haha, da uma olhada na teoria na parte de de demonstração que tá lá!)
Assim podemos calcular:
Assim temos que
E do mesmo jeito:
Substituindo:
Da para resolver essa integral com uma integração por partes:
Assim fica:
Agora para o próximo:
Novamente por integração por partes:
Assim fica:
Então a solução da particular é:
Substituindo:
Passo 3
A solução geral é dada por:
Assim fica:
Da para colocar em evidência:
Unindo os termos:
Tchã!