EDO de 2ª ordem não homogênea, Método da variação dos parâmetros(Lagrange)
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.
A EDO homogênea equivalente vai ser
Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO
Passo 2
Para resolver essa equação de grau é tranquilinho né?
Vamos começar achando
Agora vamos achar as raízes
Passo 3
Agora que temos a raiz e vimos que é o caso de raiz única a solução vai ser
Trocando o valor de
Passo 4
Agora temos que achar a solução da EDO
Lembrando que a solução vai ser
Onde é a solução da homogênea associada e é a solução da particular.
Antes de tentarmos resolver qualquer coisa, vamos arrumar aquela raiz louca que está no exponencial. Temos
E a nossa EDO vai ficar
A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros junto com o método dos coeficientes a determinar, como isso?
Vamos ter
Onde vai ser a solução particular em relação a e vai ser a solução particular em relação a . Podemos separa as soluções particulares em partes e ir achando aos poucos, normalmente fazemos tudo junto, mas como temos um polinômio ali que é de boa de fazer dessa forma que isso vai diminuir nossas contas.
Vamos começar com
Passo 5
Queremos , que vai ser relativo ao polinômio, então a nossa EDO desse cara vai ser
E a nossa solução particular vai ser
Substituindo na EDO
Isso nos diz que
Assim vamos ter
Então
Passo 6
Vamos para , que vai ser relativo a
Nesse caso vamos ao método da variação de parâmetros. Mas aqui temos que ficar atentos a um detalhe, a equação normalmente tem e não então vamos dividir todo mundo por , isso não vai mudar a solução da homogênea hein.
Temos que achar
Já temos e da homogênea, que vão ser
Onde
E
Onde é aquela função do lado direito da EDO, e vai ser
Vamos achar aqui rapidinho e porque vamos usar para achar e
E
Como por propriedade de potenciação...
Passo 7
Vamos começar achando
Vamos ter
Passo 8
Vamos resolver essa integral
Vamos fazer por partes
E vamos ter
Passo 9
A nossa função vai ser
Vamos agora a
Então
Passo 10
Vamos resolver essa integral
Vamos fazer por partes
E vamos ter
Passo 11
Assim vamos ter
A nossa solução particular vai ser
E a solução particular vai ser
E a solução geral vai ser