Método da variação dos parâmetros(Lagrange), EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis
a) Resolva a equação de Euler-Cauchy:
b) Use o método das variações dos parâmetros para resolver a seguinte equação:
Passo 1
a)
Bem galera, ele já até avisou que é uma EDO de Euler-Cauchy, então só temos que aplicar o método de solução para esse tipo de EDO, simbora:
Chutamos a solução :
Derivando:
Substituindo isso na EDO:
Assim a edo ficou, cortando o :
Arrumando:
Ae fica:
Então as raízes são:
Daí temos:
Como as raízes são distintas, a solução é dada por:
Viu? Já foi!
Passo 2
b)
Agora temos que achar a solução da EDO
Lembrando que a solução vai ser
Onde é a solução da homogênea associada e é a solução da particular.
A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos e da homogênea, temos que achar
Primeiro temos que deixar só ali quando usamos a variação de parâmetros
Onde
E
Onde é aquela função do lado direito da EDO, e vai ser
Vamos achar aqui rapidinho e porque vamos usar para achar e
E
Passo 3
Vamos começar achando
Vamos ter
Passo 4
Vamos agora a
Então
Passo 5
A nossa solução particular vai ser
E a solução geral vai ser
Resposta
a)
b)