Método da variação dos parâmetros(Lagrange), EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis
a) Resolva a equação de Euler-Cauchy: b) Use o método das variações dos parâmetros para resolver a seguinte equação:
Passo 1
a)Bem galera, ele já até avisou que é uma EDO de Euler-Cauchy, então só temos que aplicar o método de solução para esse tipo de EDO, simbora:
Chutamos a solução :
Derivando:
Substituindo isso na EDO:
Assim a edo ficou, cortando o :
Arrumando:
Ae fica:
Então as raízes são:
Daí temos:
Como as raízes são distintas, a solução é dada por:
Viu? Já foi!
Passo 2
b)A EDO é:
Vamos ajeitar ela dividindo tudo por para encontrarmos multiplicado por .
Pra usar o método você sempre tem que deixar ela com essa cara geral:
não esqueça disso!
Daí vemos que:
Ok, agora temos que usar o método da variação dos parâmetros, a primeira coisa é você ver a cara da solução, e ela é sempre baseada na solução homogênea:
Agora temos que descobrir quem é e
Então primeiro calculamos:
Assim podemos calcular o determinante:
Substituindo:
Então lá da teoria a gente viu que:
Logo:
Vamos para o outro:
Daí temos que:
Então a solução particular é:
Substituindo:
A solução geral é enfim dada por:
Só que, repare que temos dois termos com , que são e . Logo, você concorda comigo que podemos fazer isso aqui:
Certo? E que também é uma constante? Então, podemos deixar só como , pois continua sendo uma constante, beleza? Por fim, nossa solução é: