Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 3.
Considere a equação diferencial
Dado que a solução complementar de (*) é , use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação (*).
Passo 1
Ok, essa equação parece um pouco complicada, mas vamos juntos relembrar de como se usa o método de variação dos parâmetros pra sair dessa confusão.
Vamos voltar lá atrás. Imagina que você dá de cara com uma equação com essa forma aqui:
E você já conseguiu encontrar (ou já te deram!) uma solução complementar que tem essa forma aqui:
Nesse caso, existe uma fórmula pra encontrar a solução particular da equação, que é essa:
Meio confuso, né? Mas vamos com calma descobrir quem é quem nessa fórmula aí de cima.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação do enunciado naquele formato “padrão”:
A equação do enunciado é essa aqui:
Divivindo tudo por :
Agora, comparando as duas equações:
Tá, desses aí o que a gente vai precisar mesmo é o . Deixa isso guardado aí e vamos em frente.
Passo 3
O enunciado disse que a solução complementar é essa aqui:
Comparando isso com:
Dá pra ver que:
Tá, agora só falta calcular aquele , o famoso Wronskiano, que é o determinante de uma matriz:
Ok, pra calcular isso nós vamos precisar das derivadas de e :
Então:
Beleza, agora a gente já tem tudo pra substituir na fórmula da solução particular.
Passo 4
Relembrando o passo , a fórmula era essa aqui:
Vamos lembrar de tudo que a gente calculou:
Então, substituindo:
Agora vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela segunda, que é mais simples:
Nessa fração, o numerador é a derivada do denominador, então estamos falando da derivada de um logaritmo!
Uma dica: aqui não faz diferença colocar a constante na solução da integral. No final das contas ela ia simplesmente te devolver a solução complementar, então vamos deixar sem as constantes.
Então tá, por enquanto estamos assim:
Agora vamos olhar para a integral da esquerda.
Passo 5
A integral é essa aqui:
Vamos usar um velho truque pra simplificar essa fração: somar e subtrair .
Então:
E agora temos que decompôr a fração da direita em frações parciais. Lembra como se faz isso?
Primeiro temos que notar que aquele denominador ali é uma diferença de quadrados:
E então as frações parciais são:
Multiplicando tudo por :
Então, a solução dessa equação exige que:
Somando as duas equações, você descobre que:
E então:
Voltando lá na integral, isso quer dizer que:
E agora já dá pra integrar:
Passo 6
Agora (finalmente), substituindo lá na fórmula da solução particular:
Simplificando um pouco:
Lembrando que :
Beleza, essa é a solução particular da equação.
Resposta
A solução particular da equação é: .