Considere a seguinte EDO de ordem ,

Encontre a solução geral da equação homogênea associada, sabendo que é uma solução da equação homogênea. (Dica: Dado uma EDO , o teorema de Abel fornece uma maneira de calcular pela fórmula explícita para o Wronskiano ).

Usando o método da variação dos parâmetros, determine a solução particular da equação não homogênea.

Nossa EDO é a seguinte:

O caso homogêneo associado é:

Daqui, tiramos que:

Vamos começar a usar o Teorema de Abel:

Sabemos que:

Substituindo as informações:

Resolvendo aquela integral no numerador:

Não precisamos nos preocupar com as constantes por agora.

Maneiro! Temos que resolver uma EDO para encontrar . Arrumando os termos:

Repara que ela é uma EDO linear! A solução é do tipo:

Onde

Identificando cada termo:

Calculando:

Falta só o último termo:

Show! Substituindo:

Vamos finalmente montar nossa solução homogênea:

Onde e são constantes.

Como temos produtos e somas de constantes, podemos substituir tudo isso por uma constante só (não tem problema dar os mesmos nomes):

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

1. Arruma a EDO para ficar com a cara:
2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
3. Identificar e
4. Encontrar a cara da solução particular
5. Calcular e
6. Calcular
7. Calcule
8. Encontrar solução geral:
9. Substituir condições iniciais caso exista

A gente já fez os três primeiros passos! Agora vamos focar nos próximos:

Seguindo exatamente esses passos temos:

Colocando a equação na forma: )

Temos:

Nós já fornecemos a solução da homogênea. Temos então:

A solução particular será:

Calculando :

Calculando temos:

Calculando:

Temos:

Calculando :

Vamos fazer uma integração por partes na primeira integral:

Substituindo:

Logo: