Em um máquina de Atwood dois blocos de massa m A   =   5 ,   0   k g e m B   =   2 ,   0   k g estão ligados por uma corda de massa desprezível que passa por uma polia de raio R = 10 cm e massa M   =   1 ,   0   k g .

a) Se não há deslizamento entre a corda e a polia, calcule a tração em cada trecho da corda que liga os blocos e a força no suporte que liga a polia ao teto.

b) Se abandonados do repouso, calcule a velocidade dos blocos depois que o bloco mais pesado desce uma distância de 50   c m .

Passo 1

O legal de problemas com polias, é que eles são fáceis de se analisar. Podemos mostrar isso aqui e você sairá desse exercício sem mais dúvidas.

A primeira coisa que podemos fazer antes de realmente colocar a mão na massa é descrever o diagrama de forças, assim ficará bem mais fácil de saber para onde devemos ir.

Uma coisa que é importante a gente conversar agora antes que chegue matérias mais avançadas, são os vínculos. Os vínculos como o nome sugere seriam variáveis ou equações que ligam, em casos mais simples, os corpos.

Em nosso caso perceba que claramente o que liga os dois blocos é uma corda. Assim o movimento de um bloco afeta diretamente o outro bloco. Mas e agora algebricamente, quem é o vínculo? Se você disse a posição, velocidade ou aceleração vocês acertaram e são com isso que iremos trabalhar...

Passo 2

(a) Mesmo que a gente não olhasse pro diagrama acima, você concorda que todo mundo que olhar para esse problema sabe o que vai acontecer? A massa do bloco da esquerda é mais pesada que o bloco da direita. Desta forma o bloco da esquerda irá cair e da direita irá subir. Assim tome que

P 1 - T 1 = m 1 a

T 2 - P 2 = m 2 a

Perceba que a ordem na qual foram escritos nossos P 1 ,   P 2 ,   T 1 e T 2 importa.

Por fim temos que o giro da polia gera um torque, giro esse que ocorre porque uma força atua na polia, ou seja

τ = I α = R ⋅ F = R ⋅ ( T 1 - T 2 )

Como estamos lidando com um disco, tome que o momento de inércia de um disco é I = M R 2 2 . Assim

T 1 - T 2 = M α 2 R

Observe que a aceleração angular que do disco está ligada a aceleração da corda, mas a corda não era um vínculo dos blocos? Pois bem estão temos que todos os corpos do nosso problema estão ligados. Mas como ligamos a polia de maneira algébrica? Pois bem

α = a R

Então temos finalmente um sistema com 3 equações

m 1 g - T 1 = m 1 a T 2 - m 2 g = m 2 a T 1 - T 2 = M a / 2

Passo 3

Vamos resolver esse nosso problema de maneira simples agora. Vamos somar tudo ...

m 1 g - T 1 + T 2 - m 2 g + T 1 - T 2 = m 1 a + m 2 a + M a / 2

Ficando assim com

m 1 g - m 2 g = a ( m 1 + m 2 + M / 2 )

a = g ( m 1 - m 2 ) a ( m 1 + m 2 + M / 2 )

Que resolvendo

a = ( 9.8   m / s 2 ) ( 3   k g ) 7.5   k g = 3.92   m / s 2

E agora podemos finalmente determinar nossas trações.

m 1 g - T 1 = m 1 a

T 1 = m 1 g - a = 5   k g 9.8 - 3.92 m s 2 = 29,4   N

Enquanto T 2

T 2 - m 2 g = m 2 a

T 2 = m 2 a + g = 2   k g 9.8 + 3.92 m s 2 = 27,44   N

Finalmente temos que a força que segura tudo isso ao teto é descrito por

F = P p o l i a + T 1 + T 2 = 9.8   N + 29,4   N + 27,44   N = 66,64   N

Passo 4

(b) Podemos começar e terminar nosso problema chamando nosso grande amigo Torricelli, na qual

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ y

Sabemos que a massa é abandonada do repouso, então v 0 = 0 . Também sabemos que a aceleração é a = 3,92   m / s 2 e que Δ y = 0,5   m , então teremos que

v 2 = 2 ⋅ 3.92 m s 2 ⋅ 0.5   m

então

v ≈ 1.98   m / s  

Resposta

  1. T 1 = 29,4   N , T 2 = 27,44   N e F = 66,64   N
  2. v ≈ 1.98   m / s

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