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Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

A figura abaixo mostra um gráfico de posição v e r s u s tempo de um oscilador harmônico simples:

A função x t que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:

  1. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  2. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  3. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  4. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
  5. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  6. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  7. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  8. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2

Passo 1

A função nesse caso é

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

Onde

ω = 2 π f = 2 π T

Passo 2

Pelo gráfico, o período vai ser:

T = 10   s

Então:

ω = 2 π 10 = 0,2 π   r a d / s

Além disso, pode-se ver que:

A = 15   c m

Passo 3

Vamos agora achar o valor da fase.

Basta pegar um valor qualquer da função e resolver a equação. Em t = 0 :

x 0 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 0 + ϕ 0

x 0 = 0 = 15 cos ⁡ ϕ 0

cos ⁡ ϕ 0 = 0

Então:

ϕ 0 = π 2

Ou:

ϕ 0 = 3 π 2

Precisamos saber qual dos dois casos é o válido.

Passo 4

Vamos pegar outro ponto:

x 2,5 = 15

Veja que no ponto t = 2,5   s x = 15   m . Isso que eu to usando aqui!

x 2,5 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

Vamos ter:

15 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ π 2 + ϕ 0

Como os ângulos que tem cosseno igual a um são 2 π e zero, vamos ter:

π 2 + ϕ 0 = 2 π

ϕ 0 = 2 π - π 2 = 3 π 2

Podíamos ter também:

π 2 + ϕ 0 = 0

ϕ 0 = - π 2

Que é o mesmo ângulo, só que um é escrito de forma negativa e outro de forma positiva, mas são equivalentes. Vamos usar a negativa, porque as alternativas não tem 3 π / 2 . Logo:

x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π 2

Resposta

Letra D

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