UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 5
Um tubo de secção transversal é dobrado na forma de um . Um fluído é inserido no tubo ocupando um comprimento do tubo. O fluido é sugado de um lado do tubo e então é solto, resultando em um movimento oscilatório (considere que não tem atrito).
Mostre que o período de oscilação do movimento harmônico resultante é dado por:
Passo 1
Eaew, belezinha?
Nos foi indicado um tubo curvado para formar um , assim como na figura
em um dos lados do tubo é feita uma sucção de forma que um lado sobe uma altura e o outro desce uma altura . Isso faz com que uma quantidade de massa esteja acima da linha de equilíbrio indicada pelo tracejado na figura do enunciado, enquanto, do outro lado, a mesma quantidade de massa foi retirada abaixo da linha tracejada, essa quantidade de massa é obtida através da definição de densidade
em que é a densidade do líquido, é a massa de água que foi levantada e é o volume ocupado por essa massa d’água. Como temos que após a sucção a massa de água é liberada, o peso dessa massa de água faz com que a coluna desça enquanto sobre do outro lado do tubo, formando um movimento oscilatório (Já que eventualmente o outro lado irá começar a descer), sem atrito, esse movimento dura para sempre. Tendo em vista o problema descrito acima, vamos então demonstrar que o período de oscilação é
para isso, vamos procurar quem é o nosso análogo da constante elástica para esta situação física, analisando quem seria a nossa força restauradora! Saca só!
Passo 2
Temos aqui que a força restauradora é o próprio peso da massa d’água acima da linha de equilíbrio, ou seja, analogamente ao problema de massa mola, temos que
em que é a distância da posição de equilíbrio (linha tracejada na figura). A diferença de altura entre o lado mais baixo e o lado mais alto, em nosso caso dado por
como temos que a altura da coluna de água é dada pela expressão acima, temos que o volume ocupado é tal que
e, portanto, a massa é dada por
De forma que podemos obter a seguinte relação para a força restauradora
como inicialmente temos que , podemos obter que a constante “elástica” é dada por
Vamos agora comparar com o problema do MHS! Vem comigo!
Passo 3
Para o problema de massa-mola, temos que a frequência natural é dada por
em que é a massa total do sistema (em nosso caso a massa total do líquido). Sendo assim, neste caso, temos que
lembrando a definição de densidade e lembrando que o tubo tem um comprimento , obtemos que
de forma que
Ótimo! Agora lembrando que
temos finalmente que
Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!